Zylinder im Kreiskegel < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:15 Do 05.05.2005 | | Autor: | Magnia |
Hallo
Habe eine Aufgabe und komme nicht weiter:
In einem geraden Kreiskegel mit den Grundkreisradius r und der Höhe h soll ein Zylinder mit möglichst großem Volumen einbeschrieben werden.
rk = Radius Kreiskegel
rz = Radius Zylinder
h = Höhe Kreiskegel
x = Abstand von der Spitze des Kreiskegels zum Zylinder
h= höhe Kreiskegel
Ich würde sagen
[mm] 2p*rz^2 [/mm] * (h-x) = Max
und dann Strahlensatz
rz/x = rk/h
doch wie geht es weiter ?
den Strahlensatz nach rz auflösen und oben einsetzen ?
2p * [mm] (rk/h*x)^2*h [/mm] = Max
und dann ?
kann mir bitte jemand weiterhelfen
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Hallo Magnia,
> In einem geraden Kreiskegel mit den Grundkreisradius r und
> der Höhe h soll ein Zylinder mit möglichst großem Volumen
> einbeschrieben werden.
Da dies eine Analysis-Aufgabe ist, nehme ich an, daß ihr schon mit Integralen gearbeitet habt. Betrachte folgende Skizze:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wir haben einerseits die Ursprungsgerade [m]g\left( x \right): = ax[/m] in einem kartesischen Koordinatensystem mit [m]a = \arctan \left( {\tfrac{r}{h}} \right)[/m], weil dies ja gerade die Steigung von [m]g\left( x \right)[/m] ist, und wir haben die konstante Funktion [m]f\left( x \right): = g\left( {h - k} \right)[/m]. Ich dachte mir nun man könnte hier über Drehkörper argumentieren. Drehen wir nämlich den Graphen von [mm] $f\left(x\right)$ [/mm] um die x-Achse, erhalten wir im Intervall [m]\left[ {h - k,h} \right][/m] einen Zylinder mit der Höhe k und dem Radius [m]g\left( {h - k} \right) = \arctan \left( {\tfrac{r}{h}} \right)\left( {h - k} \right)[/m]. Und drehen wir [m]g\left(x\right)[/m] um die x-Achse , so erhalten wir einen senkrechten Kreiskegel mit Radius [mm] $r\!$ [/mm] und Höhe [mm] $h\!$.
[/mm]
Bei Drehkörpern gibt es nun eine Formel mit der man das Volumen eines solchen Körpers über Integration bestimmen kann. Wir bestimmen nun auf eine solche Weise das Volumen des Zylinders:
[m]\pi \int\limits_{h - k}^h {\underbrace {\left( {\arctan \left( {\frac{r}
{h}} \right)\left( {h - k} \right)} \right)^2 }_{ = :\,\xi }} dx = \pi \left[ {\xi x} \right]_{h - k}^h = \pi \xi h - \pi \xi \left( {h - k} \right) = \pi \xi k = \pi k\left( {h - k} \right)^2 \arctan \left( {\frac{r}
{h}} \right)^2 = :p\left( k \right)[/m]
Offensichtlich hängt das Volumen des Zylinders nur von [mm] $k\!$ [/mm] ab. Jetzt bestimmen wir die Extremstellen dieser Funktion [mm] $p\left(k\right)$:
[/mm]
[m]\begin{gathered}
p'\left( k \right) = \pi \left( {h - k} \right)\left( {h - 3k} \right)\arctan \left( {\frac{r}
{h}} \right)^2 \hfill \\
p''\left( k \right) = 2\pi \left( {3k - 2h} \right)\arctan \left( {\frac{r}
{h}} \right)^2 \hfill \\
\end{gathered}[/m]
[m]p'\left( k \right) = 0 \Leftrightarrow \pi \left( {h - k} \right)\left( {h - 3k} \right)\arctan \left( {\frac{r}
{h}} \right)^2 = 0 \Rightarrow k = h \vee k = \frac{h}{3}[/m]
Eingesetzt in die 2te Ableitung, ergibt das:
[m]\begin{gathered}
p''\left( h \right) = 2\pi \left( {3h - 2h} \right)\arctan \left( {\frac{r}
{h}} \right)^2 = 2\pi h\arctan \left( {\frac{r}
{h}} \right)^2 > 0 \to {\text{Tiefpunkt}} \hfill \\
p''\left( {\frac{h}
{3}} \right) = 2\pi \left( {h - 2h} \right)\arctan \left( {\frac{r}
{h}} \right)^2 = - 2\pi h\arctan \left( {\frac{r}
{h}} \right)^2 < 0 \to {\text{Hochpunkt}} \hfill \\
\end{gathered}[/m]
Damit muß das Volumen des Zylinders genau dann maximal werden, wenn seine Höhe [mm] $\tfrac{1}{3}$ [/mm] der Höhe des Kegels entspricht. Sein Volumen wäre dann:
[m]V_{{\text{Zylinder - maximal}}} = \pi \frac{h}
{3}\left( {h - \frac{h}
{3}} \right)^2 \arctan \left( {\frac{r}
{h}} \right)^2 = \frac{{4\pi h^3 \arctan \left( {\frac{r}
{h}} \right)^2 }}
{{27}}[/m]
Viele Grüße
Karl
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:05 Fr 06.05.2005 | | Autor: | Karl_Pech |
statt arctan muß bei meiner rechnung überall tan stehen. Aber ich glaube, daß die Rechnung davon im Kern nicht beeinflußt wird.
Ist mir gerade eben aufgefallen.
Grüße
Karl
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Hi, Magnia,
schneller geht's auf jeden Fall mit dem Vierstreckensatz (Strahlensatz).
Zunächst zeichnest Du Die einen "Schnitt" durch den Kegel. Das ergibt ein gleichsschenkliges Dreieck mit Grundlinie 2*rk und Höhe h.
Dahinein zeichnest Du ein Rechteck (der "Zylinder-Schnitt"!), dessen eine Seite (2*rz) auf der Grundlinie liegt, die beiden restlichen Ecken auf den Schenkeln des Dreiecks.
Nun gilt nach dem Strahlensatz:
x : h = rz : rk <=> [mm] \bruch{x}{h} [/mm] = [mm] \bruch{rz}{rk}, [/mm]
wobei man ja h und rk als vorgegebene Konstante ansehen muss.
Aufgelöst nach rz ergibt sich hieraus: rz = [mm] \bruch{x*rk}{h} [/mm] (***)
Nun zum Volumen des Zylinders, das ja maximal werden soll:
V = [mm] rz^{2}*\pi*(h-x) [/mm] (Höhe des Zylinders = Höhe h minus Abstand x!)
Nebenbedingung (***) eingesetzt:
V(x) = [mm] (\bruch{x*rk}{h})^{2}*\pi*(h-x) [/mm]
mit 0 < x < h (wegen der Definition von x!)
Diese Funktion musst Du nun ableiten, die Ableitung =0 setzen und "herauskriegen", welcher Wert von x Maximalstelle ist.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:44 Do 05.05.2005 | | Autor: | Magnia |
ja genau das habe ich ja oben geschrieben .
ich meinte meine frage eher bezogen wie ich die funktion ableiten kann ?
[mm] 2*(x*rk^2/h^2) [/mm] * [mm] \pi
[/mm]
vielleicht ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:23 Do 05.05.2005 | | Autor: | Magnia |
hab nochmal durchgerechnet und bekomme
als ableitung
[mm] \bruch{2rk^2\pi}{h}x- \bruch{2rk^2\pi}{h^2}x^2 [/mm] raus
x1=0 aber was ist um himmels willen x2 ???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:30 Do 05.05.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Magnia
Du hast oben eine etwas falsche Formel geschrieben, aber deine Herleitung war richtig:
[mm] V=\pi*(\bruch{x*rk}{h})^{2}*(h-x) [/mm] :so nun denk dran dass h und rk ja bekannt sind und behandle sie wie Zahlen! Dann die Klammer ausmultiplizieren. du hast dann hoffentlich
[mm] V=(\bruch{\pi*rk^{2}}{h^{2}})*( hx^{2}-x^{3}) [/mm] und jetzt ist es wichtig dass die ganze erste Klammer nur eine Zahl ist, am besten schreibst du vorläufig [mm] (\bruch{\pi*rk^{2}}{h^{2}})=A
[/mm]
Dann hast du [mm] V=A*hx^{2}-Ax^{3}. [/mm] Das kannst du sicher differenzieren und 0 setzen und daraus x bestimmen. Eine Lösung ist x=0, das muss so sein, denn dann ist ja auch das Volumen 0 und damit minimal. Die andere Lösung ist das x beim Maximum.
Du wirst sehen, dass es auf die Größe von A gar nicht ankommt, wenn man das Max sucht, nur wenn man dann ausrechnen will wie groß es ist. Das liegt daran dass wenn eine Funktion Maximal ist ist auch A mal die Funktion maximal.
Der "Trick" einem komplizierten oder länglichen Ausdruck aus lauter festen Zahlen erst mal nen einfachen Namen zu geben hilft oft, wenn was verwirrend aussieht!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:49 Do 05.05.2005 | | Autor: | sT3fan |
> Hallo Magnia
> Du hast oben eine etwas falsche Formel geschrieben, aber
> deine Herleitung war richtig:
> [mm]V=2\pi*(\bruch{x*rk}{h})^{2}*(h-x)[/mm]
Hallo Leduart,
wie kommst du auf diese Formel? Ich hab [mm]V=\pi*(\bruch{x*rk}{h})^{2}*(h-x)[/mm] raus.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:08 Do 05.05.2005 | | Autor: | Magnia |
ja hatte die 2 vergessen ist ja 2 [mm] \pi [/mm] * [mm] r^2 [/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:59 Do 05.05.2005 | | Autor: | Magnia |
hallo
der trick mit dem A ist spitze :)
hab für x = [mm] \wurzel{ \bruch{2}{3}h}
[/mm]
raus
ich hoffe dies stimmt diesmal :D
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:31 Do 05.05.2005 | | Autor: | sT3fan |
Die Formel für das Volumen eines Zylinders wird doch durch [mm] V=\pi [/mm] * [mm] r^{2} [/mm] * h beschrieben. Dadurch unterscheidet sich schon meine Zielfunktion. Als Lösung bekomme ich x= [mm] \bruch{2}{3}h [/mm] raus. Wie sieht denn dein Rechenweg aus?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:28 Do 05.05.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo magnia,
es freut mich, dass dir das mit A einleuchtet, aber du warst schon wieder leichtsinnig!
[mm] v'=A*(2hx-3x^{2}): (2hx-3x^{2})=x*(2h-3x)--> [/mm] x=0 und x=2/3h!
In V bzw A war noch [mm] 2\pi [/mm] falsch, weil der Flächeninhalt eines Kreises [mm] \pi*r^{2} [/mm] ist.( Der Umfang ist [mm] 2*\pi*r! [/mm] Ich habs in meiner Antwort berichtigt
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:38 Fr 06.05.2005 | | Autor: | sT3fan |
jo, so stimmt es :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:12 Fr 06.05.2005 | | Autor: | Magnia |
hm jetzt bin ich durcheinander :D
also
V = [mm] \pi [/mm] * [mm] r^2 [/mm]
dann habe ich also
[mm] \pi( \bruch{x*rk}{h})^2*(h-x)
[/mm]
ausmultipliziert :
[mm] \bruch{\pi*rk^2}{h^2}*(hx^2-x^3)
[/mm]
A = [mm] \bruch{\pi*rk^2}{h^2}
[/mm]
V = [mm] Ahx^2-Ax^3 [/mm] / * (-1)
V'= -2Ahx + [mm] 3Ax^2 [/mm] /:3ax
= - [mm] \bruch{2}{3}h [/mm] +x = 0
= x = [mm] \bruch{2}{3}h
[/mm]
stimmt es jetzt ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:38 Fr 06.05.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Magnia!
> V = [mm]Ahx^2-Ax^3[/mm] / * (-1)
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Was machst Du denn hier? Du darfst doch nicht einfach eine Gleichung mit (-1) multiplizieren und es dann nur auf einer Seite anwenden!!
Es gilt also immer noch: [mm] $V_{Zyl.}(x) [/mm] \ = \ [mm] A*h*x^2 [/mm] - [mm] A*x^3$ [/mm] !!
Damit wird die Ableitung:
[mm] $V_{Zyl.}'(x) [/mm] \ = \ 2*A*h*x - [mm] 3*A*x^2$
[/mm]
(so wie Du das vor Deiner Revision bereits hattest!)
Und da hattest Du dann Fehler bei der Division durch [mm] $(\red{-}3*A*x) [/mm] \ [mm] \not= [/mm] \ 0$ .
Denn anschließend steht da:
$0 \ = \ [mm] \red{-} [/mm] \ [mm] \bruch{2}{3}*h [/mm] \ [mm] \red{+} [/mm] \ x$
Daraus wird dann auch Dein gewünschtes Ergebnis mit einem positiven x-Wert!
Noch eine Anmerkung: Bitte gewöhne Dir nicht an, durch x zu teilen, da immer wieder gelten kann $x \ = \ 0$, und dann gibt es Probleme!
Besser ist es grundsätzlich, $x$ auszuklammern und dann zu schreiben:
$x \ = \ 0$ [mm] $\vee$ [/mm] $( ... ) \ = \ 0$
Okay?
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:22 Do 05.05.2005 | | Autor: | sT3fan |
als erstes formst du den Funktionsterm am besten so um, dass du die einzelnen x werte mit koeffizienten alleine stehen hast (nach der form [mm] a*x^{3}+b*x^{2}+c*x+d). [/mm] Dann einfach ableiten.
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