Zylinder aus Kugel schneiden < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:06 So 25.10.2009 | | Autor: | Phil92 |
| Aufgabe | Eine Holzkugel soll so bearbeitet werden, dass ein Zylinder mit möglichst großem Rauminhalt entsteht.
Wie sind der Radius und die Höhe des Zylinders zu wählen? |
Hallo,
ich habe das oben genannte Problem. Ich habe mir gedacht, dass ich für das Volumen der Kugel einfach einen Wert annehme, z.B. 500 cm³. Somit kann ich schon Mal den Radius und die Oberfläche der Kugel ausrechnen (r=4,92cm, O=304,19cm²).
Als Hauptbedingung habe ich die Volumenfunktion vom Zylinder genommen, weil dort eben der Radius und die Höhe drin vorkommt.
So. Jetzt muss man sich mein angehängtes Bild anschauen, um den nächsten Schritt zu verstehen:
Die Höhe des Zylinders kann man auch so ausdrücken:
hz = rk - x
Und die Volumenformel der Kugel auch so:
Vk = 4/3 [mm] \pi [/mm] * (hz + x)³
... denn fü anstatt r³ kann man ja auch schreiben [hz + x)³
So. weiter komme ich allerdings nicht. Habe schon versucht, die Volumenformel nach hz umzustellen und das dann in die Formel "hz = rk - x" einzusetzen, doch irgendwie klappt das alles nicht.
Ist mein Ansatz überhaupt richtig? Ich glaube sogar, dass es einen viel einfacheren weg gibt, oder?
MfG Philipp
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
Hallo Phil,
zunächst noch zwei Sachen:
- Wenn du ein Bild postest, ist es viel schöner, es dann auch in dem Post zu sehen, du kannst es mit [img]1[/img] einbinden.
- Mit welchem Programm machst du die Bilder? 
> Eine Holzkugel soll so bearbeitet werden, dass ein Zylinder
> mit möglichst großem Rauminhalt entsteht.
> Wie sind der Radius und die Höhe des Zylinders zu
> wählen?
> Ich habe mir gedacht,
> dass ich für das Volumen der Kugel einfach einen Wert
> annehme, z.B. 500 cm³. Somit kann ich schon Mal den Radius
> und die Oberfläche der Kugel ausrechnen (r=4,92cm,
> O=304,19cm²).
Ich nehme jetzt mal an, dass das richtig ist
Ich würde dir aber empfehlen, lieber keine konkreten Werte zu benutzen, da es zwar anschaulicher ist, aber Fehler durch Näherung entstehen, außerdem erhältst du dann am Ende deiner Rechnung nur einen anderen Zahlenwert, von dem du dann nicht weißt, wie er mit den ursprünglichen zusammenhängt.
Manchmal empfiehlt es sich, aber auch dann nimmt man nicht so etwas wie [mm] 500cm^{3}, [/mm] sondern zum Beispiel [mm] 1cm^{3}, [/mm] also etwas, wo der Rechenweg dann leichter "zurückverfolgt" werden kann.
Hier bleiben wir aber auf der allgemeinen Schiene ohne konkrete Werte.
> Als Hauptbedingung habe ich die Volumenfunktion vom
> Zylinder genommen, weil dort eben der Radius und die Höhe
> drin vorkommt.
Genau. Deinen nachfolgenden Bezeichnungen nach wäre:
[mm] $V_{z}(h_{z},r_{z}) [/mm] = [mm] \pi*r_{z}^{2}*h_{z}$
[/mm]
So, und nun muss dir klar sein, damit deine Berechnungen ein Ziel haben: Wir müssen es schaffen, die Abhängigkeit zwischen [mm] r_{z} [/mm] und [mm] h_{z}, [/mm] die ja offenbar besteht, durch eine Formel auszudrücken, damit wir diese dann nach [mm] r_{z} [/mm] oder [mm] h_{z} [/mm] umstellen und dann oben in die Funktion [mm] $V_{z}(h_{z},r_{z})$ [/mm] einsetzen können. Dann hängt [mm] $V_{z}$ [/mm] nur noch von einer Variable ab und wir können die Maxima und Minima bestimmen.
> So. Jetzt muss man sich mein angehängtes Bild anschauen,
> um den nächsten Schritt zu verstehen:
Hier ist es:
[Dateianhang nicht öffentlich]
> Die Höhe des Zylinders kann man auch so ausdrücken:
> [mm] $h_{z} [/mm] = [mm] r_{k} [/mm] - x$
Das stimmt aber nicht ganz. Vielmehr ist:
[mm] $h_{z} [/mm] = [mm] 2*r_{k}-2*x$
[/mm]
> Und die Volumenformel der Kugel auch so:
> [mm] V_{k} [/mm] = [mm] \frac{4}{3}*\pi*(hz [/mm] + x)³
Entsprechend
[mm] $V_{k} [/mm] = [mm] \frac{4}{3}*\pi*\left(\frac{h_{z}}{2}+x\right)^{3}$
[/mm]
> So. weiter komme ich allerdings nicht. Habe schon versucht,
> die Volumenformel nach hz umzustellen und das dann in die
> Formel "hz = rk - x" einzusetzen, doch irgendwie klappt das
> alles nicht.
Genau. Weil du beide Formel auf dieselbe Grundformel [mm] $h_{z} [/mm] = [mm] 2*r_{k}-2*x$ [/mm] stützt, daraus kannst du nun nicht mehr Informationen holen. Du brauchst noch eine zweite, von der ersten unabhängige Aussage.
Guck zum Beispiel mal in deinem Tafelwerk unter "Kugelsektor", dann findest du folgenden Zusammenhang:
[mm] $r_{z} [/mm] = [mm] \sqrt{x*(2*r_{k}-x)}$
[/mm]
Nun hast du zwei unabhängige Gleichungen
[mm] $r_{z} [/mm] = [mm] \sqrt{x*(2*r_{k}-x)}$
[/mm]
und
[mm] $h_{z} [/mm] = [mm] 2*r_{k}-2*x$
[/mm]
Versuche aus diesen beiden nun eine Abhängigkeit zwischen [mm] r_{z} [/mm] und [mm] h_{z} [/mm] herzustellen [mm] (r_{k} [/mm] darf in der Formel vorkommen!), indem du die zweite nach x umstellst und in die obere einsetzt.
Grüße,
Stefan
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:02 So 25.10.2009 | | Autor: | Phil92 |
Und wieder ein Mal bedanke ich mich recht herzlich :D
Aber trotzdem habe ich noch eine Frage:
Ich habe nun die zweite Formel nach x hin umgestellt, also:
x = rk - hz/2
und habe diese in die erste Gleichung eingesetzt:
rz = [mm] \wurzel{(rk - hz/2) * (2 * rk - x)}
[/mm]
Und diese Formel nun wiederum in meine Hauptbedingung eingesetzt:
[mm] Vz_{(hz)} [/mm] = [mm] \pi [/mm] * [mm] \wurzel{(rk - hz/2) * (2 * rk - x)} [/mm] * hz
Soweit richtig?
PS: Ich benutze das (ekostenlose) Programm Paint.Net. Aber gezeichnet habe ich (und man wird's mir bestimmt nicht glauben) in Word. Da kann man ja alle Figuren zeichnen. Erfordert etwas übung aber geht relativ schnell ^^
|
|
|
| |
|
Hallo!
Danke für die Info
> Ich habe nun die zweite Formel nach x hin umgestellt,
> also:
>
> x = rk - hz/2
>
> und habe diese in die erste Gleichung eingesetzt:
>
> rz = [mm]\wurzel{(rk - hz/2) * (2 * rk - x)}[/mm]
>
> Und diese Formel nun wiederum in meine Hauptbedingung
> eingesetzt:
>
> [mm]Vz_{(hz)}[/mm] = [mm]\pi[/mm] * [mm]\wurzel{(rk - hz/2) * (2 * rk - x)}[/mm] * hz
>
> Soweit richtig?
Naja. Du hast ja das zweite x gar nicht ersetzt, im zweiten Faktor unter der Wurzel. Das muss auch weg, das war bloß eine Hilfsvariable, die wir benutzt haben.
Außerdem beachte, dass in der Formel für das Volumen des Zylinders [mm] r_{z}^{2} [/mm] steht, d.h. die Wurzel verschwindet und es steht nur noch der "Inhalt" der Wurzel da.
Hier noch ein kleiner Tipp:
[mm] $r_{z} [/mm] = [mm] \sqrt{\left(r_{k}-\frac{h_{z}}{2}\right)*\left(r_{k}+\frac{h_{z}}{2}\right)} [/mm] = [mm] \sqrt{r_{z}^{2}-\frac{h_{z}^{2}}{4}}$
[/mm]
Grüße,
Stefan
|
|
|
|
