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| Aufgabe | Beschreiben Sie die folgenden Mengen in kartesischen Koordinaten und zeichnen Sie diese.
$A={(p [mm] \cos(\phi),p \sin(\phi),z) \in \IR^{3} [/mm] | [mm] \phi \in [0,\pi], [/mm] z [mm] \in [/mm] [0,2], p=2 [mm] \sin(\phi)}$
[/mm]
$B={(r [mm] \cos(\phi) \sin(\theta),r \sin(\phi) \sin(\theta),r \cos(\theta)\in \IR^{3} [/mm] | 0 [mm] \le \phi \le \pi [/mm] , [mm] \theta \in [\bruch{\pi}{2}, \pi]}$ [/mm] |
Guten Abend miteinander,
ich komme im Moment nicht mit ein paar Mengen zurecht, die ich skizzieren und vor allem verstehen können sollte für die Prüfung.
Ich weiß von A, dass es ein verschobener Zylinder ist und von B, dass es ein halber Zylinder ist. Nur woran kann man das erkennen? B ist doch eigentlich in Kugelkoordinaten, wie kann es dann ein Zylinder sein?
Danke im Vorraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:51 Mo 28.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Beschreiben Sie die folgenden Mengen in kartesischen
> Koordinaten und zeichnen Sie diese.
>
> [mm]A={(pcos(phi),psin(phi),z)\in \IR^{3} | phi \in [0,\pi], z \in [0,2], p=2sin(phi)}[/mm]
>
> [mm]B={(rcos(phi)sin(theta),rsin(phi)sin(theta),rcos(theta)\in \IR^{3} | 0 \le phi \le \pi , theta \in [\bruch{\pi}{2}, \pi]}[/mm]
>
> Guten Abend miteinander,
>
> ich komme im Moment nicht mit ein paar Mengen zurecht, die
> ich skizzieren und vor allem verstehen können sollte für
> die Prüfung.
>
> Ich weiß von A, dass es ein verschobener Zylinder ist und
> von B, dass es ein halber Zylinder ist. Nur woran kann man
> das erkennen? B ist doch eigentlich in Kugelkoordinaten,
> wie kann es dann ein Zylinder sein?
>
Wo hast du die Info her, dass B ein "halber" Zylinder sein soll?
Ich würde B eher als "Viertelkugeloberfläche" beschreiben.
RMix
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Die Aufgaben waren Teil einer Hausaufgabe dieses Semesters und mein Tutor hat meine Viertelkugel als falsch gekennzeichnet und geschrieben, es sei ein halber Zylinder.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:58 Mo 28.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Die Aufgaben waren Teil einer Hausaufgabe dieses Semesters
> und mein Tutor hat meine Viertelkugel als falsch
> gekennzeichnet und geschrieben, es sei ein halber Zylinder.
Kann es sein, dass du die Angabe nicht komplett und vollständig wiedergegeben hast?
RMix
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Tatsächlich, da bin ich in den Zeilen verrutscht.
Die richtige Menge lautet
[mm] B={(rcos(phi)sin(theta),rsin(phi)sin(theta),rcos(theta)\in \IR^{3} | 0 \le phi \le \pi , theta \in [0, \bruch{\pi}{2}],rsin(theta) \le 4}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:41 Mo 28.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Tatsächlich, da bin ich in den Zeilen verrutscht.
>
> Die richtige Menge lautet
>
> [mm]B={(rcos(phi)sin(theta),rsin(phi)sin(theta),rcos(theta)\in \IR^{3} | 0 \le phi \le \pi , theta \in [0, \bruch{\pi}{2}],rsin(theta) \le 4}[/mm]
>
OK, dann ist es tatsächlich ein Halbzylinder bzw. Viertelzylinder (s.u.).
Durch die Beschränkung [mm] $0\le\varphi$\le\pi$ [/mm] erfolgt eine Beschränkung auf den Halbraum [mm] $y\ge0$. [/mm] Zusätzlich schränkt [mm] $0\le\theta\le\frac{\pi}{2}$ [/mm] das Ergebnis auf [mm] $z\ge0$ [/mm] ein. Ursprünglich war über r nichts ausgesagt, eine Viertelkugel wäre es aber nur für ein konstantes r.
Bis jetzt haben wir also den "Viertelraum" [mm] $y\ge0$ [/mm] und [mm] $z\ge0$.
[/mm]
[mm] $r*sin(\theta)$ [/mm] gibt den Abstand eines Punktes von der z-Achse an und alle Punkte, deren Abstand von der z-Achse [mm] "\le4" [/mm] sind bilden einen Drehzylinder (diesmal als Körper gesehen, nicht als Fläche!) mit Radius 4 und dessen Achse die z-Achse ist. Die Gesamtlösung ist also die Schnittmenge dieses Vollzylinders mit dem oben beschriebenen Viertelraum. Das Ergebnis könnte man vielleicht sogar als "Viertelzylinder" statt als Halbzylinder bezeichnen, denn abgesehen von der offensichtlich fehlenden "Hälfte" $y<0$ fehlt ja auch die "Hälfte" $z<0$.
Der wesentliche Unterschied zu A ist aber, dass es sich bei B um ein Volumen handelt. Eine Zylinderfläche wäre es mit [mm] $r*sin(\theta)=4$.
[/mm]
Gruß RMix
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Okay, das habe ich verstanden, denke ich.
Dann noch eine Frage: Was deutet bei der Menge A darauf hin, dass der Zylinder verschoben ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:51 Di 29.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> Okay, das habe ich verstanden, denke ich.
> Dann noch eine Frage: Was deutet bei der Menge A darauf
> hin, dass der Zylinder verschoben ist?
Wir haben (ich schreibe $t$ statt [mm] \phi)
[/mm]
[mm] $A=\{(2sin(t)cos(t), 2sin^2(t),z): t \in [0, \pi], z \in [0,2]\}$
[/mm]
Für festes $z [mm] \in [/mm] [0,2]$ ist die Projektion von $A$ in die x-y-Ebene gegeben durch
[mm] \{(2sin(t)cos(t), 2sin^2(t)): t \in [0, \pi]\}$.
[/mm]
Das ist die Bildmengen der Kurve $k:[0, [mm] \pi] \to \IR^2$, [/mm] definiert durch
$ k(t):=(2sin(t)cos(t), [mm] 2sin^2(t)).$
[/mm]
Nun schau Dir mal diese Kurve an !
Zeige: [mm] $k([0,1])=\{(x,y) \in \IR^2: x^2+(y-1)^2=1\}.$
[/mm]
Damit ist
[mm] $A=\{(x,y)\in \IR^2: x^2+(y-1)^2=1\} \times [/mm] [0,2]$
FRED
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Die Kurve [mm] k([0,1])=\{(x,y) \in \IR^2: x^2+(y-1)^2=1\} [/mm] ist genau der Kreisrand, der für z [mm] \in [/mm] [0,2] den Zylinder erzeugt.
Aber wie man von k(t):=(2sin(t)cos(t), [mm] 2sin^2(t)) [/mm] auf diese Kurve schließen soll . verstehe ich absolut nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:07 Di 29.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> Die Kurve [mm]k([0,1])=\{(x,y) \in \IR^2: x^2+(y-1)^2=1\}[/mm] ist
> genau der Kreisrand, der für z [mm]\in[/mm] [0,2] den Zylinder
> erzeugt.
> Aber wie man von k(t):=(2sin(t)cos(t), [mm]2sin^2(t))[/mm] auf
> diese Kurve schließen soll . verstehe ich absolut nicht.
Mann ! Wie wärs mit nachrechnen ?
Setze $x=2sin(t)cos(t)$ und [mm] $y=2sin^2(t)$ [/mm] und rechne nach:
[mm] x^2+(y-1)^2=1.
[/mm]
FRED
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Wenn ich x=2sin(t)cos(t) und [mm] y=2sin^2(t) [/mm] in die Gleichung
[mm] x^2+(y-1)^2=1
[/mm]
einsetze, habe ich als Ergebnis:
[mm] 16sin^{4}(t)-8sin^{2}(t)+4sin^{2}(t)cos^{2}(t)+1=1.
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:30 Di 29.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> Wenn ich x=2sin(t)cos(t) und [mm]y=2sin^2(t)[/mm] in die Gleichung
>
> [mm]x^2+(y-1)^2=1[/mm]
>
> einsetze, habe ich als Ergebnis:
>
> [mm]16sin^{4}(t)-8sin^{2}(t)+4sin^{2}(t)cos^{2}(t)+1=1.[/mm]
Ich hab keine Ahnung was (oder wie ) Du da gerechnet hast. Stimmen tuts jedenfals vorne und hinten nicht !
Es ist [mm] x^2+(y-1)^2=4sin^2(t)cos^2(t)+4sin^4(t)-4sin^2(t)+1=4sin^2(t)(cos^2(t)+sin^2(t)-1)+1
[/mm]
Jetzt Du !
FRED
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[mm] 4sin^2(t)(cos^2(t)+sin^2(t)-1)+1 [/mm] = [mm] 4sin^2(t)(1-1)+1= [/mm] 1
Nur wie ich aus den Kugelkoordinaten auf diese Gleichung schließen soll, ist mir nach wie vor schleierhaft.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:47 Di 29.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> [mm]4sin^2(t)(cos^2(t)+sin^2(t)-1)+1[/mm] = [mm]4sin^2(t)(1-1)+1=[/mm] 1
>
> Nur wie ich aus den Kugelkoordinaten auf diese Gleichung
> schließen soll, ist mir nach wie vor schleierhaft.
Wie kommst du hier auf Kogelkoordinaten. Im Grunde hast du außerdem bei beiden Beispielen Parameterdarstellungen in kartesischen Koordinaten gegeben.
Dass du die von Fred gegebene Gleichung in x und y nicht sofort aus der Angabe heraus siehst, verstehe ich. Vielleicht ist dir die Herangehensweise in meiner anderen Antwort etwas genehmer.
Gruß RMix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:50 Di 29.07.2014 | | Autor: | elduderino |
Hoppla, ich meinte auch Zylinderkoordinaten.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:57 Di 29.07.2014 | | Autor: | fred97 |
Wenn man gar nichts "sieht" kann man sich Kurven plotten lassen ....
Mach das mal. Vielleicht kommt Dir eine Idee...
Auch ich bedanke mich für meine Hilfe...
FRED
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Ich meine ja nicht, dass ich nicht weiß, wie die Kurven aussehen.
Ich verstehe nur nicht, wie man von
k(t):=(2sin(t)cos(t), [mm] 2sin^2(t)) [/mm] auf
[mm] k([0,1])=\{(x,y) \in \IR^2: x^2+(y-1)^2=1\} [/mm] schließen soll.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:02 Di 29.07.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ich meine ja nicht, dass ich nicht weiß, wie die Kurven
> aussehen.
>
> Ich verstehe nur nicht, wie man von
>
> k(t):=(2sin(t)cos(t), [mm]2sin^2(t))[/mm] auf
>
> [mm]k([0,1])=\{(x,y) \in \IR^2: x^2+(y-1)^2=1\}[/mm] schließen
> soll.
Nochmal: setze x=2sin(t)cos(t) und y= [mm] 2sin^2(t) [/mm] und rechne nach:
[mm] x^2+(y-1)^2=1.
[/mm]
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:50 Di 29.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> > Ich meine ja nicht, dass ich nicht weiß, wie die Kurven
> > aussehen.
> >
> > Ich verstehe nur nicht, wie man von
> >
> > k(t):=(2sin(t)cos(t), [mm]2sin^2(t))[/mm] auf
> >
> > [mm]k([0,1])=\{(x,y) \in \IR^2: x^2+(y-1)^2=1\}[/mm] schließen
> > soll.
>
>
> Nochmal: setze x=2sin(t)cos(t) und y= [mm]2sin^2(t)[/mm] und
> rechne nach:
>
> [mm]x^2+(y-1)^2=1.[/mm]
>
Das Nachrechnen dieser Beziehung ist, denke ich, nicht das Problem von elduderino. Die Frage ist "Wieso gerade diese Gleichung und nicht eine andere?.
Manchmal kann man sich durch Umformungen einen etwas klareren Blick auf das Problem verschaffen (wie hier etwa durch Anwenden der Additionstheoreme). Ansonsten ist es sicher hilfreich und empfehlenswert, sich, wie du schreibst, den Sachverhalt plotten zu lassen. Das setzt allerdings ein entsprechendes Hilfsmittel in Form eines geeigneten grafikfähigen TR oder eines CAS voraus, oder aber genügend Zeit um das "zu Fuß" mit Aufstellen einer Wertetabelle zu erledigen. Oft sind leider bei Klausuren beide Voarussetzungen (Hilfmittel, ausreichend Zeit) nicht gegeben.
Gruß RMix
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:39 Di 29.07.2014 | | Autor: | rmix22 |
> Okay, das habe ich verstanden, denke ich.
> Dann noch eine Frage: Was deutet bei der Menge A darauf
> hin, dass der Zylinder verschoben ist?
Ein geringfügig andere Betrachtungsweise als jede, die Fred angegeben hat, ist, in der Angabe gleich die speziellen Summensätze zu sehen und einzusetzen:
[mm] $\vektor{2*sin(t)*cos(t)\\2*sin^2(t)\\z}=\vektor{sin(2t)\\1-cos(2t) \\z}$
[/mm]
Hier sieht man doch recht schön den verschobenen erzeugenden Kreis des Zylinders mit Radius 1.
RMIx
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:49 Di 29.07.2014 | | Autor: | elduderino |
So ist es tatsächlich sehr gut zu erkennen, an die Summensätze hatte ich garnicht gedacht. Danke für die Hilfe, auch nachträglich für die Hilfe gestern.
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