Zyklische Untergruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei $S$ die Menge aller rationalen Zahlen mit quadratfreiem Nenner.
Zeigen sie, dass $S$ eine additive Untergruppe von [mm] \IQ [/mm] ist, die nicht zyklisch ist. |
Also ist [mm] G:=(\IQ,+).
[/mm]
Jetzt hab ich mir mal überlegt, wie $S$ aussehen könnte.
Mein Vorschlag ist folgender:
[mm] $S=\{x\in\IR \mbox{ | } x=\bruch{y}{z} \mbox{ mit } y\in\IR \mbox{ und } z=z_1*z_2*...*z_n \mbox{ mit } z_i,i\in\IN \mbox{ ist Primzahl und } z_i\not= z_j\}
[/mm]
Also der Nenner ist eine Primfaktorzerlegung, in der jede Primzahl nur einmal vorkommt.
Hab ich das so richtig verstanden bis hierher?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:24 Mo 31.10.2011 | | Autor: | fred97 |
Es geht wohl um den Begriff "quadratfrei":
Aus Wiki:
"Eine natürliche Zahl heißt quadratfrei, wenn es außer der Eins keine Quadratzahl gibt, die diese Zahl teilt. Anders formuliert tritt in der eindeutigen Primfaktorzerlegung [mm] n=p_1\cdot\ldots\cdot p_k [/mm] einer quadratfreien Zahl keine Primzahl mehr als einmal auf."
FRED
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Also habe ich meine Menge $S$ doch richtig modelliert, oder?
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Nicht ganz.^^
Deine Zähler dürfen keine reellen Zahlen sein sondern müssen ganze Zahlen sein.
Ebenso ist nicht $x [mm] \in \IR$ [/mm] sondern $x [mm] \in \IQ$.
[/mm]
Dann sollte noch irgendwo die Bedingung rein, dass die Brüche vollständig gekürzt sind.
[mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] <-- Nenner quadratfrei
[mm] $\frac{2}{4}$ [/mm] <-- Nenner nicht quadratfrei
Und dann lese ich deinen Text oben so, als sollte z eine Primzahl sein...
Nenne die Zahl vielleicht z und die Primfaktoren [mm] $p_i$, [/mm] das ist dann vielleicht etwas klarer.
Alles in allem musst du also sehr aufpassen was du haben willst, was du geschenkt kriegst und was du doch noch explizit sagen solltest.
lg
Schadow
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