Zyklische Gruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:23 Sa 27.10.2007 | | Autor: | Salome |
| Aufgabe | | Beweisen sie, dass eine abelsche Gruppe der Ordnung 6 zyklisch ist. |
Ich brauche einen Tipp für den Lösungsansatz
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: www.matheonline.de
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:42 So 28.10.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> Beweisen sie, dass eine abelsche Gruppe der Ordnung 6
> zyklisch ist.
> Ich brauche einen Tipp für den Lösungsansatz
nimm an, die gruppe sei nicht zyklisch und zeige, dass es dann ein element $a$ der ordnung $3$ und ein element $b$ der ordnung $2$ geben muss. welche ordnung hat dann $ab$?
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:23 So 28.10.2007 | | Autor: | Salome |
ord (ab) ist dann ord (a) x ord (b), also 6. Was ergibt sich da für ein Widerspruch?
Wieso müssen in der Gruppe gerade a mit ord (a) = 3 und b mit ord (b) = 2 drin sein? Weil ich dann insgesamt in der Gruppe 6 Elemente habe? Aber geht das nicht auch mit drei Elementen der ORdnung drei?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:58 So 28.10.2007 | | Autor: | mando |
Sei G Gruppe mit 6 Elementen.
Man kann mit den Sylow-Sätzen argumentieren:
Es gilt Syl(G,3) = 1 mod 2, also gibt es Untergruppe U von G mit ord(U)=3. Daher gibt es a in U mit ord(a) = 3 (da ord(a) | 3 und nicht alle Elemente Ordnung 1 haben können).
Genauso folgt, dass es Element b der Ordnung 2 gibt.
Dann folgt wie du schon geschrieben hast, dass das Element ab Ordnung 6 hat (das ist aber auch noch zu zeigen) und damit erzeugt ab G (da G ={ 1, ab, [mm] ab^{2}, ab^{3}, ab^{4}, ab^{5} [/mm] } )
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:43 Mo 29.10.2007 | | Autor: | andreas |
> ord (ab) ist dann ord (a) x ord (b), also 6. Was ergibt
> sich da für ein Widerspruch?
damit wäre dann die gruppe zyklisch! (aber das mit den ordnungen gilt nicht allgemein - die sind im allgemeien nur ein teiler des produktes der ordnungen! überlege dir mal, warum das bei diesen beiden ordnungen aber passt).
> Wieso müssen in der Gruppe gerade a mit ord (a) = 3 und b
> mit ord (b) = 2 drin sein?
genau das ist die entscheidenende frage. welche ordnungen können denn überhaupt auftreten (lagrange)?
> Aber geht das nicht auch mit drei
> Elementen der ORdnung drei?
überlege dir mal, wie der schnitt von zwei untergruppen mit primzahlordnung aussehen kann. dann siehst du schnell, dass es außer dem neutralen element nicht nur elemente der ordnung $3$ geben kann, denn diese treten immer in pärchen auf, somit hätten solche gruppen dann die ordnung $1, 3, 5, 7, 9,...$ - aber nicht $6$.
schau mal, ob du damit schon zum ziel kommst. beim ausschliesen, dass alle elemente außer dem neutralen die ordnung $2$ haben, muss man sich die elemente selber mal genauer anschauen.
wenn du damit noch nicht weiterkommst, kannst du deine überlegungen ja nochmals hier posten.
grüße
andreas
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