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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:00 Di 07.03.2006 | | Autor: | cycilia |
| Aufgabe | | Man berechne die Ordnung eines k-Zykels in der symmetrischen Gruppe Sn mit k [mm] \le [/mm] n. |
Die Lösung ist Ord = k. Für mich ist das zu sehen, indem ich den Zykel in Transpositionen aufteile. Allerdings weiß ich nicht, wie ich einen Beweis ausführen soll. Danke für eure Hilfsbereitschaft (ich stelle ja schon ein paar Fragen in den letzten Tagen...)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:19 Di 07.03.2006 | | Autor: | felixf |
> Man berechne die Ordnung eines k-Zykels in der
> symmetrischen Gruppe Sn mit k [mm]\le[/mm] n.
> Die Lösung ist Ord = k. Für mich ist das zu sehen, indem
> ich den Zykel in Transpositionen aufteile. Allerdings weiß
> ich nicht, wie ich einen Beweis ausführen soll. Danke für
> eure Hilfsbereitschaft (ich stelle ja schon ein paar Fragen
> in den letzten Tagen...)
Ich wuerd es eher direkt beweisen: Sei [mm] $\sigma [/mm] = [mm] (i_1 i_2 \dots i_k) \in S_n$ [/mm] ein $k$-Zykel, also [mm] $i_1, [/mm] ..., [mm] i_k \in \{ 1, \dots, n \}$ [/mm] paarweise verschieden. Jetzt kannst du ja mal [mm] $\sigma^m$ [/mm] berechnen fuer $m = 1, [mm] \dots, [/mm] k$ (du solltest eine allgemeine Formel finden). Wenn z.B. [mm] $\sigma^m(i_1) \neq i_1$ [/mm] ist fuer $m = 1, [mm] \dots, [/mm] k-1$ und [mm] $\sigma^k [/mm] = [mm] \mathrm{id}_{S_n}$ [/mm] ist, dann hast du gezeigt, dass die Ordnung von [mm] $\sigma$ [/mm] $k$ ist.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:49 Di 07.03.2006 | | Autor: | cycilia |
So war mein erster Ansatz. Aber ich konnte eben keine allgemeingültig Formel entdecken. Ich hab mir speziell 4-Zykel und 5-Zykel angeschaut.
(1234)(1234) = (13)(24)
(13)(24)(1234) = (1432)
(1432)(1234)=id
(12345)(12345)=(13524)
(13524)(12345) =(14253)
(14253)(12345)=(15432)
(15432)(12345) = id
das einzige, was für mich erkennbar ist, ist dass der Zykel hoch (k-1) so ausschaut, dass das erste Element vorne steht und dann die anderen in umgekehrter Reihenfolge.
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Hallo und guten Nachmittag,
vielleicht hilft es Dir, sich die Definition eines Zykels [mm] \sigma=(i_0,\ldots [/mm] , [mm] i_{k-1}) [/mm] klar zu machen:
es heisst, dass
[mm] \sigma(i_0)=i_1,\: \sigma(i_1)=i_2,\ldots [/mm] , [mm] \sigma(i_{k-1})=i_0.
[/mm]
Dann sollte man doch leicht, dass
[mm] \sigma^l(i_j)=i_{j+l\:\mod\: k} [/mm] gilt
und somit folgt das, was felixf zu beweisen angeregt hatte.
Viele Gruesse,
Mathias
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