Zweikörperproblem < Mechanik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:26 Mo 20.10.2014 | | Autor: | Khaine |
Hallo zusammen,
es geht um die Lösung des Zweikörperproblems in Schwerpunkt und Relativkoordinaten. Ich versuche gerade die Aufgabe einem Freund zu erklären, da ich schon in einem höheren Semester bin. Leider will ich das die ganze Zeit mit dem Laplace Formalismus lösen und den kennen die nicht (wobei ich mir jetzt auch nicht sicher wäre dass ich das dann sofort gelöst bekäme ^^). Wenn ich über die Kräfte gehe habe ich ja zunächst die beiden Gleichungen
[mm] m_1*x_1'' [/mm] = G * [mm] (m_1 [/mm] * [mm] m_2) [/mm] / [mm] r^3 [/mm] * [mm] (x_2 [/mm] - [mm] x_1) [/mm] [Eq1] und
[mm] m_2*x_2'' [/mm] = G * [mm] (m_1 [/mm] * [mm] m_2) [/mm] / [mm] r^3 [/mm] * [mm] (x_1 [/mm] - [mm] x_2) [/mm] [Eq2].
Addition der beiden Gleichungen ergibt ja direkt die gewünschte Beziehung der Schwerpunktkoordinate MR'' = 0 mit M = [mm] m_1 [/mm] + [mm] m_2. [/mm] Und soweit ich mich erinnere müsste man [mm] 1/m_1 [/mm] * Eq1 - [mm] 1/m_2 [/mm] * Eq2 rechnen um die relativ Koordinate r zu erhalten.
Ich komme dabei auf r'' = [mm] G/r^3 (m_2*x_2 [/mm] + [mm] m_1*x_1 [/mm] - [mm] m_2*x_1 [/mm] - [mm] m_1*x_2). [/mm] Die ersten beiden Summanden ergäben dann aber MR und dann wären die Gleichungen ja nicht mehr entkoppelt.
Kann mir da mal jemand schnell auf die Sprünge helfen?
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:16 Mo 20.10.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
was genau nennst du denn Relativkoordinaten? [mm] x_1 [/mm] festgehalten? bzw [mm] x_1=0? x_2=r
[/mm]
was ist dein r in den Gleichungen wenn nicht [mm] |x_2-x_1|
[/mm]
wie kommst du auf deine Gl für r'' das kann ich nicht nachvollziehen.
Gruß leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:57 Mo 20.10.2014 | | Autor: | Khaine |
mein r ist [mm] x_1 [/mm] - [mm] x_2. [/mm] Auf die Gleichung komme ich, wenn ich, wie beschrieben, die erste Gleichung durch [mm] m_1 [/mm] teile, die zweite durch [mm] m_2 [/mm] und dann die Differenz bilde. Dann kommt dabei raus [mm] x_1 [/mm] ''- [mm] x_2'' [/mm] = r'' = ... und eigentlich sollte auf der rechten Seite sowas wie -GM [mm] r/|r|^3 [/mm] stehen, wobei die ganzen r und [mm] x_i [/mm] eigentlich Vektoren sind, hab da nur die ganze Zeit mal die Pfeile weggelassen. Insbesondere kommt in der Gleichung für die Relativkoordinate r nicht der Schwerpunkt R vor, es ist gerade der Sinn dahinter die Gleichungen zu entkoppeln, aber genau das passiert bei mir nicht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:23 Mo 20.10.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
von einem Laplace-Formalismus habe ich zwar auch noch nichts gehört, wenn du das aber über Newton II machen willst, kannst du [mm] $x_i=R+(-1)^{i+1}\frac{m_j}{M}r$, [/mm] $i,j=1,2$, $i [mm] \neq [/mm] j$ in Newton II einsetzen und die Gleichungen voneinander subtrahieren. Dann solltest du eine Gleichung für die Relativkoordinate r erhalten.
Liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:38 Mo 20.10.2014 | | Autor: | Khaine |
kleine Korrektur, ich meinte nicht laplace sondern lagrange, aber das ist an der Stelle ja irrelevant.
Ich meine mich zu erinnern, dass man das direkt aus den beiden Kräftegleichungen so wie ich sie aufgeschrieben habe erhalten kann. Es wäre mir lieber wenn ich so wenig "neues" wie möglich verwenden muss. Ich werde deinen Hinweis aber gleich ausprobieren und ggf. als "fallback" Lösung merken.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:52 Mo 20.10.2014 | | Autor: | andyv |
Das ist nichts wirklich neues, lediglich die Rücktransformation von [mm] $(x_1,x_2)\mapsto [/mm] (r,R)$.
Natürlich kann man auch "direkt" eine Gleichung für [mm] $x_1-x_2=r$ [/mm] herleiten (Einfach durch Subtraktion. Ist nicht nötig durch die Massen zu dividieren.).
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:04 Mo 20.10.2014 | | Autor: | Khaine |
Richtig das ist nichts richtig neues, aber trotzdem würde ich den direkten Weg vorziehen. Wenn ich die Gleichungen direkt subtrahiere erhalte ich zunächst
[mm] m_1x_1'' [/mm] - [mm] m_2x_2'' [/mm] = [mm] Gm_1m_2/|r|^3 (x_2-x_1-x_1+x_2)
[/mm]
oder weiter umgeformt
[mm] (m_1x_1'' [/mm] - [mm] m_2x_2'')/(m_1m_2) [/mm] = [mm] -2Gr/|r|^3.
[/mm]
So ganz am Ziel bin ich damit ja leider immer noch nicht
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:11 Mo 20.10.2014 | | Autor: | andyv |
Oh, sorry, ich habe deinen ersten Post nicht vernünftig gelesen.
Gemeint war, dass man schon die durch [mm] $m_1$ [/mm] bzw. [mm] $m_2$ [/mm] gekürzten Gleichungen subtrahieren soll, d.h. dein Weg war richtig (allerdings hast du einen Vorzeichenfehler eingebaut). Du musst nur noch die Relativkoordinate ausklammern.
Tut mir leid, das hätte man schneller erledigen können.
Liebe Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:58 Mo 20.10.2014 | | Autor: | Khaine |
Danke habs jetzt wie gewollt hinbekommen. Das man da geschickt ausklammern kann hab ich leider übersehen.
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