Zweifaches Integral < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:23 Sa 19.02.2005 | | Autor: | kuroiya |
Hallo!
Es geht um die Berechnung des Integrals [mm] \bruch{V^{2}}{2h^{2}}\integral_B dp_{1}dp_{2}, [/mm] wobei B = { [mm] (p_{1},p_{2}) [/mm] : [mm] p_{1}^{2} [/mm] + [mm] p_{2}^{2} \le [/mm] 2mE }
Ich habe gerechnet:
[mm] \bruch{V^{2}}{2h^{2}}\integral_{0}^{\wurzel{2mE}}\integral_{-\wurzel{2mE - p_{2}^{2}}}^{\wurzel{2mE - p_{2}^{2}}}dp_{1}dp_{2}
[/mm]
= [mm] \bruch{V^{2}}{h^{2}}\integral_{0}^{\wurzel{2mE}} \wurzel{2mE - p_{2}^{2}}dp_{2}
[/mm]
= [mm] \bruch{V^{2}\wurzel{2mE}}{h^{2}}\integral_{0}^{\wurzel{2mE}} \wurzel{1 - \bruch{p_{2}^{2}}{2mE}}dp_{2}
[/mm]
subst: [mm] \bruch{p_{2}^{2}}{2mE} [/mm] = [mm] \sin^{2}{t} \Rightarrow p_{2} [/mm] = [mm] \wurzel{2mE}\sin{t}, dp_{2} [/mm] = [mm] \wurzel{2mE}\cos{t}
[/mm]
[mm] \bruch{V^{2}\wurzel{2mE}}{h^{2}}\integral_{0}^{\wurzel{2mE}} \wurzel{1 - \bruch{p_{2}^{2}}{2mE}}dp_{2} [/mm] = [mm] \bruch{V^{2}2mE}{h^{2}}\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}} cos^{2}(t)dt [/mm]
= [mm] \bruch{V^{2}2mE}{h^{2}} [\bruch{1}{2}(t [/mm] - [mm] \sin{t}\cos{t}]_{0}^{\bruch{\pi}{2}} [/mm] = [mm] \bruch{mEV^{2}\pi}{2h^{2}}
[/mm]
nur leider sollte das Resultat [mm] \bruch{mEV^{2}\pi}{h^{2}} [/mm] lauten...
Habe ich die Integrationsgrenzen falsch angepasst, oder wo hab ich diese 2 verloren?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:16 Sa 19.02.2005 | | Autor: | wysi |
> Habe ich die Integrationsgrenzen falsch angepasst, oder wo
> hab ich diese 2 verloren?
Nein, du hast den Fehler ganz am Anfang gemacht, beim Setzen der Integrationsgrenzen.
Es sollte imo korrekt so heissen:
[mm]\bruch{V^{2}}{2h^{2}}\integral_{-\wurzel{2mE}}^{\wurzel{2mE}}\integral_{-\wurzel{2mE - p_{2}^{2}}}^{\wurzel{2mE - p_{2}^{2}}}dp_{1}dp_{2}
[/mm]
Damit solltest du dann auf das korrekte Resultat kommen.
PS: Rechne doch mit Polarkoordinaten, das sieht viel einfacher aus.
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