Zwei Zahlen gesucht. < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:54 Do 02.07.2009 | | Autor: | Marius6d |
| Aufgabe | | Untersuchen Sie, ob es zwei Zahlen a und b gibt, für welche sowohl Ihre Differenz als auch die Differenz des natürlichen Logarithmus der beiden Zahlen 1 ergibt. |
Also erstens habe ich mal die beiden Gleichungen aufgestellt:
a-b=1
ln(a)-ln(b)=1 --> Frage: Ist hier ln(a)-ln(b) oder ln(a-b) gemeint?
bzw.:
ln(a)-ln(b) = a-b
Ich hab nun erstmal versucht die zweite Gleichung aufzulösen daher:
ln(a)-ln(b) = 1
=
ln(a)-ln(b) = ln(e)
a - b = e
und dann haben wir noch
a - b = 1
dass kann ja nicht aufgehen, denn 1 Zahl minus eine Andere kann ja nicht zwei verschiedene Lösungen haben.
Wie funktioniert das?
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:06 Do 02.07.2009 | | Autor: | Marius6d |
Ah ich habe glaub eine Lösung gefunden:
Ich habe die beiden Gleichungen umgestellt:
y=e^(-1+ln(x))
y=-1+x
ich habe hier x für a und y für b genommen, damit ich es in meinem Graphenprogramm eintragen kann. Und so sehe ich einen Schnittpunkt, den ich jetzt noch kur berechnen muss.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:16 Do 02.07.2009 | | Autor: | QCO |
> a-b=1
>
> ln(a)-ln(b)=1 --> Frage: Ist hier ln(a)-ln(b) oder ln(a-b)
> gemeint?
Nach Wortlaut der Aufgabe [mm]ln a - ln b[/mm].
> Ich hab nun erstmal versucht die zweite Gleichung
> aufzulösen daher:
>
> ln(a)-ln(b) = ln(e)
>
> a - b = e
Hier liegt dein Fehler. Man lässt den Logarithmus ja nicht einfach weg, sondern führt auf beiden Seiten der Gleichung die selbe Operation durch. Um den ln wegzubekommen rechnen wir also [mm]e^{linke Seite}[/mm] und [mm]e^{rechte Seite}[/mm]
Rechte Seite ist klar, da kommt [mm]e^{1} = e[/mm] raus.
Linke Seite: [mm]e^{ln a - ln b} = e^{ln a} * e^{- ln b} = \bruch{e^{ln a}}{e^{ln b}} = \bruch{a}{b}[/mm].
So, damit kannst du ja nochmal prüfen, ob es jetzt eine Lösung gibt.
> a - b = 1
>
> dass kann ja nicht aufgehen, denn 1 Zahl minus eine Andere
> kann ja nicht zwei verschiedene Lösungen haben.
Das stimmt. Aber nur am Rande: Es wäre ja immerhin auch möglich, dass es wirklich keine Lösung gibt. Also das solche Zahlen a und b nicht existieren. In diesem Fall hättest du mit deinem obigen Widerspruch bewiesen, dass es diese Zahlen nicht gibt.
|
|
|
| |
|
Ja, es gibt zwei zahlen a, b für die zutrifft:
(1) a-b=1 und
(2) ln(a)-ln(b)=1
aus (2) folgt:
[mm] e^{ln(a)-ln(b)}=e
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{e^{ln(a)}}{e^{ln(b)}}=e
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{a}{b}=e
[/mm]
aus (1) folgt:
b=a-1
einsetzen in (2):
[mm] \bruch{a}{a-1}=e
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] a= ea- e
[mm] \Rightarrow [/mm] -ea+ a= -e
[mm] \Rightarrow [/mm] (-e+1)*a= -e
[mm] \Rightarrow [/mm] a= [mm] \bruch{-e}{-e+1}= [/mm] 1,58197...
aus (1) folgt dann b= 0,58197...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:10 Do 02.07.2009 | | Autor: | Marius6d |
Danke, habs vorhin gerade selber noch herausgefunden, bin zwar anders daran gegangen, hab mir die beiden gleichungen als Graphendarstellen lassen und dann den Schnittpunkt berechnet. Komme so auf das selbe. Vielen Dank.
|
|
|
|
