Zuverlässigkeitsabschätzung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:35 Mo 28.07.2008 | | Autor: | Dablack |
| Aufgabe | Die zufällige Lebensdauer X eines technischen Gerätes besitze die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
[mm] fX(x)=\begin{cases} 0, & x < 0 \\ 2e^{-2x}, & x \ge 0\end{cases}
[/mm]
a) Berechnen Sie die zugehörige Verteilungsfunktion FX(x).
b) Welchen Erwartungswert hat die zufällige Lebensdauer X?
c) Es werden n Geräte dieses Typs parallel geschaltet. Ihre Lebensdauern seien statistisch unabhängig und identisch wie X verteilt. Wie groß muss n mindestens sein, damit die Lebensdauer der gesamten Schaltung mit Wahrscheinlichkeit 0,9 mindestens 2 Zeiteinheiten beträgt? |
a)
[mm] FX(x)=\begin{cases} 0, & x < 0 \\ 1 - e^{-2x}, & x \ge 0\end{cases}
[/mm]
b)
E{X} = 1/2
c)
Hier komme ich überhaupt nicht weiter. Kann mir bitte jemand einen Ansatz posten? Ich glaube, ich denke in die falsche Richtung. Es soll n [mm] \ge [/mm] 125 rauskommen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:05 Mo 28.07.2008 | | Autor: | abakus |
> Die zufällige Lebensdauer X eines technischen Gerätes
> besitze die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
>
> [mm]fX(x)=\begin{cases} 0, & x < 0 \\ 2e^{-2x}, & x \ge 0\end{cases}[/mm]
>
> a) Berechnen Sie die zugehörige Verteilungsfunktion FX(x).
> b) Welchen Erwartungswert hat die zufällige Lebensdauer
> X?
> c) Es werden n Geräte dieses Typs parallel geschaltet.
> Ihre Lebensdauern seien statistisch unabhängig und
> identisch wie X verteilt. Wie groß muss n mindestens sein,
> damit die Lebensdauer der gesamten Schaltung mit
> Wahrscheinlichkeit 0,9 mindestens 2 Zeiteinheiten beträgt?
> a)
> [mm]FX(x)=\begin{cases} 0, & x < 0 \\ 1 - e^{-2x}, & x \ge 0\end{cases}[/mm]
>
> b)
> E{X} = 1/2
>
> c)
> Hier komme ich überhaupt nicht weiter. Kann mir bitte
> jemand einen Ansatz posten? Ich glaube, ich denke in die
> falsche Richtung. Es soll n [mm]\ge[/mm] 125 rauskommen.
Wenn die Schaltung vor Ablauf der 2 Zeiteinheiten ausfällt (Gegenereignis), dann müssen alle n Geräte ausgefallen sein.
Der Ausfall eines Gerätes innerhalb der zwei Zeiteinheiten hat irgendeine Wahrscheinlichkeit p, der Ausfall aller Geräte hat dann die Wahrscheinlichkeit [mm] p^n.
[/mm]
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:41 Mo 28.07.2008 | | Autor: | Dablack |
Danke für die Antwort.
Ja, soweit war ich auch schon mal. (Einer meiner verkorksten Ansätze)
Ich war da bei 1 - (1 - [mm] E(X))^{n} [/mm] > 0,9. Das Problem ist dabei ist, dass sich das auf nur eine Zeiteinheit bezieht und nicht auf zwei, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:05 Mo 28.07.2008 | | Autor: | abakus |
> Danke für die Antwort.
> Ja, soweit war ich auch schon mal. (Einer meiner
> verkorksten Ansätze)
> Ich war da bei 1 - (1 - [mm]E(X))^{n}[/mm] > 0,9. Das Problem ist
> dabei ist, dass sich das auf nur eine Zeiteinheit bezieht
> und nicht auf zwei, oder?
Du hast doch unter a) die Verteilungsfunktion ermittelt. Mit der bekommst du doch die Wahrscheinlichkeit für JEDE Lebensdauer (und damit auch für 2 Zeiteinheiten).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:39 Mo 28.07.2008 | | Autor: | Dablack |
Ah, jetzt hab ich's...
Wenn ich in meine FX 2 einsetze, bekomme ich die Wahrscheinlichkeit, dass das Gerät nach 2 Lebensdauern ausgefallen ist. (Ich hatte bisher irgendwie genau das Gegenteil im Kopf)
FX(2) = 0.9816....
Nun kann ich das in meine Formel einsetzen:
1 - [mm] 0,9817^{n} [/mm] > 0,9 [mm] \Rightarrow [/mm] n [mm] \ge [/mm] 125
Was für eine schwere Geburt... Danke nochmal.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:57 Mo 28.07.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin Dablack,
du kannst es auch so sehen: Das Maximum der n Lebensdauern muss
mindestens 2 sein. Was weisst ueber die Verteilung des Maximums? Da
wirst du hier im MR einiges finden ...
vg Luis
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