Zusammenhang NS u. Koeffizient < komplexe Zahlen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:11 Mi 16.01.2013 | | Autor: | ninime |
| Aufgabe | Beweisen Sie:
a) Ein Polynom in [mm] \IC[x] [/mm] mit einer reellen und einer komplexen Nullstelle hat mindestens einen komplexen Koeffizienten.
b) Ein Polynom in [mm] \IC[x] [/mm] mit zueinander konjugiert komplexen Nullstellen hat nur reelle Koeffizienten. |
Hallo, seit letzter Woche machen wir komplexe Zahlen. Leider konnte ich aus familiären Gründen in den Vorlesungen nicht anwesend sein. Bisher hatte ich auch noch nicht die Möglichkeit das Thema nachzuarbeiten. Morgen muss ich einen wichtigen Aufgabenzettel abgeben. Durch die meisten Aufgaben habe ich mich mit Hilfe des Internets so durchgewurschtelt, nur bei dieser finde ich nicht mal einen Ansatz. Wäre für jede Hilfe sehr dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:54 Do 17.01.2013 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Beweisen Sie:
> a) Ein Polynom in [mm]\IC[x][/mm] mit einer reellen und einer
> komplexen Nullstelle hat mindestens einen komplexen
> Koeffizienten.
Man sollte von genau einer reellen und genau einer komplexen Nullstelle
ausgehen, da der Satz dann stimmt. Anderenfalls müsste man ihn noch
etwas genauer umformulieren.
Man könnte es mit folgendem Ansatz versuchen:
Sei [mm] $x_1$ [/mm] eine reelle und [mm] $x_2$ [/mm] eine komplexe Nullstelle eines Polynoms p(x)
aus [mm]\IC[x][/mm].
Das Polynom lässt sich dann schreiben als:
$p(x) = [mm] a(x-x_1)*(x-x_2)$
[/mm]
Ausmultiplizieren.
Was lässt sich über die Koeffizienten sagen?
>
> b) Ein Polynom in [mm]\IC[x][/mm] mit zueinander konjugiert
> komplexen Nullstellen hat nur reelle Koeffizienten.
Ansatz wie bei a) mit zueinander konjugiert komplexen Nullstellen.
> Hallo, seit letzter Woche machen wir komplexe Zahlen.
> Leider konnte ich aus familiären Gründen in den
> Vorlesungen nicht anwesend sein. Bisher hatte ich auch noch
> nicht die Möglichkeit das Thema nachzuarbeiten. Morgen
> muss ich einen wichtigen Aufgabenzettel abgeben. Durch die
> meisten Aufgaben habe ich mich mit Hilfe des Internets so
> durchgewurschtelt, nur bei dieser finde ich nicht mal einen
> Ansatz. Wäre für jede Hilfe sehr dankbar.
Gruß
meili
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