Zusammenhang Fourier & Hilbert < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:31 Fr 30.09.2011 | | Autor: | tynia |
Hallo zusammen.
ich hoffe einer von euch kann mir helfen. Ich beschäftige mich gerade mit der Hilbert- bzw. Fouriertransformation. Ich verstehe aber irgendwie nicht, wie die beiden genau zusammenhängen. Ich habe das so verstanden, das die Hilbert-Transformation ein spezialfall der FT ist? aber irgdnwei werde ich da nicht so ganz schlau.
Vielleicht kann mir da jemand besser erklären?
Gruß
tynia
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:54 Fr 30.09.2011 | | Autor: | Dath |
Dass die Hilbert-Transformation ein Spezialfall der Fourier-Transformation ist, ist mir neu. Allein wenn du dir schon bei Wikipedia die Rechenregeln anschaust, die die Hilbert-Transformation erfüllt in Bezug auf Ableitungen und dies mit den rechenreglen für die Fourier-Transformation vergleichst, stellst du fest, dass die Regeln null-nichts gemeinsam haben. Wäre die Hilbert-Transfomration ein Spezialfall, so müsste sie derselben regel genügen (oder einem spezialfall derselbigen).
Die Fouriertransformation wird lediglich verwendet., um zu zeigen, dass zweimalige Anwendung der Hilbert-Transformation auf eine Funktion zur skalaren Multiplikation mit -1 entspricht.
Dies kann man sich schon klar machen, wenn man weiß, dass die H-Transformation zu einem verschieben der Frequenz des eingehenden Signals korrespondiert (und zwar um [mm]+/-\Pi / 2[/mm].
[mm]e^{+/- i\Pi}=-1[/mm].
Auch wenn man sich die Regeln für die Faltung anschaut, die die beiden Transformationen erfüllen müssen, stellt man fest, dass es ganz unterschiedliche sind.
Kurz und knapp: Fourier-Transformation wird benutzt um Eigenschaften der Hilbert-Transformation zu testen, ansonsten sind die zwei operatoren aber zwei verschiedene Baustellen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:28 Fr 30.09.2011 | | Autor: | tynia |
Danke für deine Antwort. Die Formulierung, dass die HT ein Spezialfall der FT ist war ein bisschen blöd formuliert. Ich habe irgendwie den Zusammenhang nicht ganz verstanden. Also haben Fourier und hilbert eigentlich nix miteinander zu tun. Kannst du mir vielleicht noch sagen, warum man die FT der HT vorziehen sollte und umgekehrt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:25 Fr 30.09.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo tynia,
Die Fouriertransformation stellt den Zusammenhang her zwischen einem Signal, das im Zeitbereich beschrieben wird und einem Signal, das im Frequenzbereich beschrieben wird, kurz bezeichnet als das Spektrum des Zeitsignals. Die Hilberttransformation liefert keine Korrespondenz zwischen Zeit- und Spektralbereich, sie stellt aber eine Verbindung her zwischen Real- und Imaginärteil eines Spektralsignals bzw. bei einem komplexen Zeitsignal den Zusammenhang zwischen dessen Real- und Imaginärteil.
Viele Grüße,
Infinit
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