Zusammenhängender Raum < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:30 Mi 18.05.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | | Sei X ein metrischer Raum,der aus endlich vielen Punkten besteht und der mindestens zwei Punkte hat. Beweisen Sie, dass X nicht zusammenhängend sein kann. |
Hallo ^^
Ich komme bei diesem Beweis leider nicht mehr weiter. Ich hab versucht einen Widerspruchsbeweis zu führen.
Angenommen X ist zusammenhängend. Dann existieren keine offenen,disjunkten Teilmengen U,V mit X [mm] \subset [/mm] U [mm] \cup [/mm] V,
X [mm] \cap U\not=\emptyset, [/mm] X [mm] \cap [/mm] V [mm] \not=\emptyset.
[/mm]
Dann weiß ich, dass X mindestens zwei Punkte enthält. Also nehme ich mir zwei Punkte. Und jetzt will ich zeigen, dass einer von den Punkten in U und einer in V liegt, dass also solche Mengen doch existieren und A nicht zusammenhängend ist. Aber ich finde keinen richtigen Ansatz dafür.
Kann mir jemand weiterhelfen?
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:59 Mi 18.05.2011 | | Autor: | fred97 |
Das mußt Du ganz anders machen:
Sei [mm] $X=\{x_1,...,x_n\}$ [/mm] mit n [mm] \ge [/mm] 2.
Nun überlege Dir , dass [mm] \{x_j\} [/mm] offen ist ! (j=1,...,n)
Setze dann [mm] $U:=\{x_1\}$ [/mm] und $V:= X [mm] \setminus [/mm] U$
Hilft das ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:43 Mi 18.05.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo Fred,
> Das mußt Du ganz anders machen:
>
> Sei [mm]X=\{x_1,...,x_n\}[/mm] mit n [mm]\ge[/mm] 2.
>
> Nun überlege Dir , dass [mm]\{x_j\}[/mm] offen ist ! (j=1,...,n)
Das könnte man so begründen: Eine Menge ist offen, wenn jeder Punkt den sie enthält ein innerer Punkt von ihr ist. Die Menge [mm] \{x_{j}\} [/mm] enthält nur den Punkt [mm] x_{j}, [/mm] d.h. es gibt keinen anderen Punkt zu dem [mm] x_{j} [/mm] einen Abstand >0 haben könnte. Das bedeutet die Epsilon-Kugel ist der Punkt selbst und dieser liegt eben in [mm] \{x_{j}\}. [/mm] Daher ist [mm] \{x_{j}\} [/mm] offen.Und die leere Menge ist auch noch enthalten, ist auch offen.
>
> Setze dann [mm]U:=\{x_1\}[/mm] und [mm]V:= X \setminus U[/mm]
>
> Hilft das ?
Ja das hilft auf jeden Fall,Danke. Dann setze ich mal U und V so wie du es sagst. Dann sind U und V schonmal offen und disjunkt und Teilmengen von X sind sie auch.
Außerdem gilt: U [mm] \cup [/mm] V=X, X [mm] \cap [/mm] U [mm] \not=\emptyset, [/mm] da X [mm] \cap U=\{x_{1}\} [/mm] und X [mm] \cap [/mm] V=V.
Und daraus folgt dann schon, dass X nicht zusammenhängend sein kann.
Stimmt das so, das kommt mir so komisch vor, dass man sich einfach U und V so definiert,dass es passt.
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:51 Mi 18.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> > Das mußt Du ganz anders machen:
> >
> > Sei [mm]X=\{x_1,...,x_n\}[/mm] mit n [mm]\ge[/mm] 2.
> >
> > Nun überlege Dir , dass [mm]\{x_j\}[/mm] offen ist ! (j=1,...,n)
>
> Das könnte man so begründen: Eine Menge ist offen, wenn
> jeder Punkt den sie enthält ein innerer Punkt von ihr ist.
> Die Menge [mm]\{x_{j}\}[/mm] enthält nur den Punkt [mm]x_{j},[/mm] d.h. es
> gibt keinen anderen Punkt zu dem [mm]x_{j}[/mm] einen Abstand >0
> haben könnte. Das bedeutet die Epsilon-Kugel ist der Punkt
> selbst
Welche Epsilon- Kugel ? Du mußt schon genauer sein !
Betrachten wir [mm] x_1: [/mm] setze [mm] \varepsilon:= [/mm] min [mm] \{d(x_1,x_2), d(x_1,x_3),...,d(x_1,x_n) \}
[/mm]
dann ist [mm] K(x_1, \varepsilon)=\{x_1\}
[/mm]
und dieser liegt eben in [mm]\{x_{j}\}.[/mm] Daher ist
> [mm]\{x_{j}\}[/mm] offen.Und die leere Menge ist auch noch
> enthalten, ist auch offen.
> >
> > Setze dann [mm]U:=\{x_1\}[/mm] und [mm]V:= X \setminus U[/mm]
> >
> > Hilft das ?
>
> Ja das hilft auf jeden Fall,Danke. Dann setze ich mal U und
> V so wie du es sagst. Dann sind U und V schonmal offen und
> disjunkt und Teilmengen von X sind sie auch.
> Außerdem gilt: U [mm]\cup[/mm] V=X, X [mm]\cap[/mm] U [mm]\not=\emptyset,[/mm] da X
> [mm]\cap U=\{x_{1}\}[/mm] und X [mm]\cap[/mm] V=V.
>
> Und daraus folgt dann schon, dass X nicht zusammenhängend
> sein kann.
> Stimmt das so, das kommt mir so komisch vor, dass man sich
> einfach U und V so definiert,dass es passt.
Es passt, verlass Dich drauf
FRED
>
> Vielen Dank
> lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:54 Mi 18.05.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
> > > Hilft das ?
> >
> > Ja das hilft auf jeden Fall,Danke. Dann setze ich mal U und
> > V so wie du es sagst. Dann sind U und V schonmal offen und
> > disjunkt und Teilmengen von X sind sie auch.
> > Außerdem gilt: U [mm]\cup[/mm] V=X, X [mm]\cap[/mm] U [mm]\not=\emptyset,[/mm] da
> X
> > [mm]\cap U=\{x_{1}\}[/mm] und X [mm]\cap[/mm] V=V.
> >
> > Und daraus folgt dann schon, dass X nicht zusammenhängend
> > sein kann.
> > Stimmt das so, das kommt mir so komisch vor, dass man
> sich
> > einfach U und V so definiert,dass es passt.
>
>
> Es passt, verlass Dich drauf
Ich glaube es passt doch nicht, denn wenn [mm] U=\{x_{1}\} [/mm] und V=X [mm] \backslash [/mm] U. Dann ist V das Komplement von U in X. Wenn U offen ist muss V abgeschlossen sein. Dann habe ich aber nicht zwei offene Mengen und die brauche ich doch.
Halt, warte. Die Negation von zwei nicht-offenen ist mind. eine offene. Das heißt es passt doch.
Also: Es passt doch oder?
Vielen Dank
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:01 Mi 18.05.2011 | | Autor: | fred97 |
>
> > > > Hilft das ?
> > >
> > > Ja das hilft auf jeden Fall,Danke. Dann setze ich mal U und
> > > V so wie du es sagst. Dann sind U und V schonmal offen und
> > > disjunkt und Teilmengen von X sind sie auch.
> > > Außerdem gilt: U [mm]\cup[/mm] V=X, X [mm]\cap[/mm] U [mm]\not=\emptyset,[/mm]
> da
> > X
> > > [mm]\cap U=\{x_{1}\}[/mm] und X [mm]\cap[/mm] V=V.
> > >
> > > Und daraus folgt dann schon, dass X nicht zusammenhängend
> > > sein kann.
> > > Stimmt das so, das kommt mir so komisch vor, dass
> man
> > sich
> > > einfach U und V so definiert,dass es passt.
> >
> >
> > Es passt, verlass Dich drauf
>
> Ich glaube es passt doch nicht,
Doch es passt, verlass Dich drauf.
> denn wenn [mm]U=\{x_{1}\}[/mm] und
> V=X [mm]\backslash[/mm] U. Dann ist V das Komplement von U in X.
> Wenn U offen ist muss V abgeschlossen sein. Dann habe ich
> aber nicht zwei offene Mengen
Doch ! V ist offen und abgeschlossen !
Die Abgeschlossenheit hast Du gezeigt. V ist auch offen, denn
[mm] $V=\{x_2\} \cup [/mm] ... [mm] \cup \{x_n\}$
[/mm]
Die Vereinigung offener Mengen ist offen
Der verlässliche FRED
> und die brauche ich doch.
> Verstehe ich das richtig?
>
> Vielen Dank
> lg
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:09 Mi 18.05.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
> > > Es passt, verlass Dich drauf
> >
> > Ich glaube es passt doch nicht,
>
>
> Doch es passt, verlass Dich drauf.
Ich verlasse mich gern drauf, wenn ich es komplett durchschaut habe.
>
> > denn wenn [mm]U=\{x_{1}\}[/mm] und
> > V=X [mm]\backslash[/mm] U. Dann ist V das Komplement von U in X.
> > Wenn U offen ist muss V abgeschlossen sein. Dann habe ich
> > aber nicht zwei offene Mengen
>
> Doch ! V ist offen und abgeschlossen !
Wie geht das denn? Ich dachte in einem metrischen Raum X sind X und die leere Menge die einzigen Mengen die offen und abgeschlossen zugleich sind.
>
> Die Abgeschlossenheit hast Du gezeigt. V ist auch offen,
> denn
>
> [mm]V=\{x_2\} \cup ... \cup \{x_n\}[/mm]
>
> Die Vereinigung offener Mengen ist offen
>
Ja,aber doch nur für unendlich viele und nicht für endlich viele, so kenne ich es zumindest.
> Der verlässliche FRED
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:12 Mi 18.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> > > > Es passt, verlass Dich drauf
> > >
> > > Ich glaube es passt doch nicht,
> >
> >
> > Doch es passt, verlass Dich drauf.
>
> Ich verlasse mich gern drauf, wenn ich es komplett
> durchschaut habe.
> >
> > > denn wenn [mm]U=\{x_{1}\}[/mm] und
> > > V=X [mm]\backslash[/mm] U. Dann ist V das Komplement von U in X.
> > > Wenn U offen ist muss V abgeschlossen sein. Dann habe ich
> > > aber nicht zwei offene Mengen
> >
> > Doch ! V ist offen und abgeschlossen !
>
> Wie geht das denn? Ich dachte in einem metrischen Raum X
> sind X und die leere Menge die einzigen Mengen die offen
> und abgeschlossen zugleich sind.
Nein. Wo hast Du das denn her ? Das gilt im [mm] \IR^n [/mm] und ......, aber das lassen wir jetzt
> >
> > Die Abgeschlossenheit hast Du gezeigt. V ist auch offen,
> > denn
> >
> > [mm]V=\{x_2\} \cup ... \cup \{x_n\}[/mm]
> >
> > Die Vereinigung offener Mengen ist offen
> >
> Ja,aber doch nur für unendlich viele und nicht für
> endlich viele, so kenne ich es zumindest.
Dann kennst Du was falsches ! In einem topologischen Raum ist eine beliebige Vereinigung offener Mengen wieder offen.
FRED
>
> > Der verlässliche FRED
>
> lg
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:39 Mi 18.05.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
> > > Doch ! V ist offen und abgeschlossen !
> >
> > Wie geht das denn? Ich dachte in einem metrischen Raum X
> > sind X und die leere Menge die einzigen Mengen die offen
> > und abgeschlossen zugleich sind.
>
>
> Nein. Wo hast Du das denn her ? Das gilt im [mm]\IR^n[/mm] und
> ......, aber das lassen wir jetzt
>
> > > Die Vereinigung offener Mengen ist offen
> > >
> > Ja,aber doch nur für unendlich viele und nicht für
> > endlich viele, so kenne ich es zumindest.
>
> Dann kennst Du was falsches ! In einem topologischen Raum
> ist eine beliebige Vereinigung offener Mengen wieder
> offen.
Na gut, wenn das so ist, dann verlasse ich mich auf dich.
Danke für deine Hilfe.
lg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:01 Do 19.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> > Wie geht das denn? Ich dachte in einem metrischen Raum X
> > sind X und die leere Menge die einzigen Mengen die offen
> > und abgeschlossen zugleich sind.
Hallo Mandy,
es gilt folgender
SATZ: Ist M ein metrischer Raum (oder allgemeiner ein topologischer Raum), so gilt:
M ist nicht zusammenhängend
[mm] \gdw [/mm]
es gibt eine Teilmenge A von M mit: [mm] \emptyset \ne [/mm] A [mm] \ne [/mm] M , A ist offen und A ist abgeschlossen.
BEWEIS:
[mm] "\Rightarrow": [/mm] Es ex. nichtleere offene Teilmengen A und B von M mit:
$M=A [mm] \cup [/mm] B$ und $A [mm] \cap [/mm] B= [mm] \emptyset$ [/mm] .
Dann ist A=M \ B. Da B offen ist ist A abgeschlossen.
[mm] "\Rightarrow": [/mm]
Setze B:= M \ A. Da A abgeschlossen ist, ist B offen. Weiter ist B [mm] \ne \emptyset, [/mm] $M=A [mm] \cup [/mm] B$ und $A [mm] \cap [/mm] B= [mm] \emptyset$ [/mm] .
M ist also nicht zusammenhängend.
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:25 Do 19.05.2011 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo Fred,
> es gilt folgender
>
> SATZ: Ist M ein metrischer Raum (oder allgemeiner ein
> topologischer Raum), so gilt:
>
> M ist nicht zusammenhängend
>
> [mm]\gdw[/mm]
>
> es gibt eine Teilmenge A von M mit: [mm]\emptyset \ne[/mm] A [mm]\ne[/mm] M ,
> A ist offen und A ist abgeschlossen.
>
> BEWEIS:
>
> [mm]"\Rightarrow":[/mm] Es ex. nichtleere offene Teilmengen A und B
> von M mit:
>
> [mm]M=A \cup B[/mm] und [mm]A \cap B= \emptyset[/mm] .
>
> Dann ist A=M \ B. Da B offen ist ist A abgeschlossen.
>
> [mm]"\Rightarrow":[/mm]
>
> Setze B:= M \ A. Da A abgeschlossen ist, ist B offen.
> Weiter ist B [mm]\ne \emptyset,[/mm] [mm]M=A \cup B[/mm] und [mm]A \cap B= \emptyset[/mm]
> .
>
> M ist also nicht zusammenhängend.
Danke sehr,dass du dir Mühe gemacht hast, das zu beweisen. Jetzt bin ich versichert, dass es so ist und muss es nicht einfach hinnehmen.
lg
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ist das schon der Beweis?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:10 Do 19.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> ist das schon der Beweis?
Ja
FRED
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