Zusammenhängende Menge < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:43 Di 04.05.2010 | | Autor: | Teufel |
| Aufgabe | Seien A, Z Teilmengen vom metrischen Raum X, Z ist zusammenhängend.
Zeige: Falls $A [mm] \cap [/mm] Z [mm] \not= \emptyset$ [/mm] und $(X [mm] \backslash [/mm] A) [mm] \cap [/mm] Z [mm] \not=\emptyset$, [/mm] so ist $Z [mm] \cap \partial [/mm] A [mm] \not= \emptyset$. [/mm] |
Hi!
Ich wollte den Beweis so ausziehen:
Annahme: $Z [mm] \cap \partial [/mm] A = [mm] \emptyset$. [/mm] Dann müsste ich zeigen, dass Z nicht zusammenhängend ist, also dass es offene, disjunkte, nichtleere Mengen M, N aus X gibt mit $M [mm] \cap [/mm] N=Z$.
Nun ist aber $(Z [mm] \cap [/mm] A) [mm] \cup [/mm] (Z [mm] \cap (X\backslash [/mm] A))=Z$ mit $Z [mm] \cap [/mm] A$ und $Z [mm] \cap (X\backslash [/mm] A)$ sind beide nicht leer, disjunkt und ihre Vereinigung ist Z.
Bleibt nur noch zu zeigen, dass die Mengen offen sind. Für Z offen ist das auch kein Problem, da $Z [mm] \cap [/mm] A=(Z [mm] \backslash \partial [/mm] A) [mm] \cap [/mm] A=Z [mm] \cap [/mm] (A [mm] \backslash \partial [/mm] A)=Z [mm] \cap A^{o}$ [/mm] offen, da Z offen und [mm] A^{o} [/mm] offen sind (genau so für die andere Menge).
Das Problem ist jetzt nur: Was passiert, wenn Z abgeschlossen ist? Kann mir ja jemand bei helfen? Sollte ich vielleicht auch anders rangehen als mit einem Widerspruchsbeweis?
Ansonsten wollte ich noch mit [mm] $\emptyset \not= [/mm] (A [mm] \cap [/mm] Z) [mm] \cup [/mm] ((X [mm] \backslash [/mm] A) [mm] \cap [/mm] Z)$ anfangen und das so künstlich aufblähen, sodass ich da noch den Rand von A mit reinkriege und dass dann eben $Z [mm] \cap \partial [/mm] A [mm] \not= \emptyset$ [/mm] gelten müsste, da sonst auch ein Widerspruch entstünde.
Das war aber auch nicht wirklich erfolgversprechend.
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:28 Di 04.05.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo Teufel!
> Seien A, Z Teilmengen vom metrischen Raum X, Z ist
> zusammenhängend.
> Zeige: Falls [mm]A \cap Z \not= \emptyset[/mm] und [mm](X \backslash A) \cap Z \not=\emptyset[/mm],
> so ist [mm]Z \cap \partial A \not= \emptyset[/mm].
> Hi!
>
> Ich wollte den Beweis so ausziehen:
>
> Annahme: [mm]Z \cap \partial A = \emptyset[/mm]. Dann müsste ich
> zeigen, dass Z nicht zusammenhängend ist, also dass es
> offene, disjunkte, nichtleere Mengen M, N aus X gibt mit [mm]M \cap N=Z[/mm].
>
> Nun ist aber [mm](Z \cap A) \cup (Z \cap (X\backslash A))=Z[/mm] mit
> [mm]Z \cap A[/mm] und [mm]Z \cap (X\backslash A)[/mm] sind beide nicht leer,
> disjunkt und ihre Vereinigung ist Z.
> Bleibt nur noch zu zeigen, dass die Mengen offen sind.
> Für Z offen ist das auch kein Problem, da [mm]Z \cap A=(Z \backslash \partial A) \cap A=Z \cap (A \backslash \partial A)=Z \cap A^{o}[/mm]
> offen, da Z offen und [mm]A^{o}[/mm] offen sind (genau so für die
> andere Menge).
>
> Das Problem ist jetzt nur: Was passiert, wenn Z
> abgeschlossen ist? Kann mir ja jemand bei helfen? Sollte
> ich vielleicht auch anders rangehen als mit einem
> Widerspruchsbeweis?
>
> Ansonsten wollte ich noch mit [mm]\emptyset \not= (A \cap Z) \cup ((X \backslash A) \cap Z)[/mm]
> anfangen und das so künstlich aufblähen, sodass ich da
> noch den Rand von A mit reinkriege und dass dann eben [mm]Z \cap \partial A \not= \emptyset[/mm]
> gelten müsste, da sonst auch ein Widerspruch entstünde.
Betrachte lieber mal [mm] $\overline{A} [/mm] = [mm] A^{o} \cup \partial [/mm] A$ und [mm] $X\backslash\overline{A}$ [/mm] und bedenke, dass
(a) [mm] X =\overline{A} \cup (X\backslash\overline{A}) = A^{o} \cup \partial A\cup (X\backslash\overline{A})[/mm] ist,
(b) [mm] X\backslash\overline{A} [/mm] als Komplement einer abgeschlossenen Menge offen ist.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:33 Di 04.05.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Danke für die Hilfe erst mal.
Aber irgendwie komme ich bei der Aufgabe auf keinen grünen Zweig.
Ich habe also mal versucht deine Tipps zu verwenden, aber ich weiß nicht genau, wie ich das Z dann vernünftig da einbauen soll bzw. worauf der Beweis überhaupt hinauslaufen soll, wenn es nicht gerade ein Widerspruchsbeweis sein soll.
Ich habe also $X [mm] \backslash \overline{A}=X \backslash (A^o \cup \partial [/mm] A)=(X [mm] \backslash A^o) \cap [/mm] (X [mm] \backslash \partial [/mm] A)$.
Aber weiter bin ich leider nicht gekommen.
Ich kann X gemäß (a) noch ersetzen, aber irgendwie habe ich da auch nichts gesehen.
Teufel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:40 Di 04.05.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hi!
>
> Danke für die Hilfe erst mal.
>
> Aber irgendwie komme ich bei der Aufgabe auf keinen grünen
> Zweig.
> Ich habe also mal versucht deine Tipps zu verwenden, aber
> ich weiß nicht genau, wie ich das Z dann vernünftig da
> einbauen soll bzw. worauf der Beweis überhaupt
> hinauslaufen soll, wenn es nicht gerade ein
> Widerspruchsbeweis sein soll.
>
> Ich habe also [mm]X \backslash \overline{A}=X \backslash (A^o \cup \partial A)=(X \backslash A^o) \cap (X \backslash \partial A)[/mm].
>
> Aber weiter bin ich leider nicht gekommen.
>
> Ich kann X gemäß (a) noch ersetzen, aber irgendwie habe
> ich da auch nichts gesehen.
Setze (a) in $Z=X [mm] \cap [/mm] Z$ ein.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:28 Di 04.05.2010 | | Autor: | Teufel |
Hmm ok, das habe ich auch schon versucht. Aber wenn ich das tue, habe ich folgendes:
$Z=X [mm] \cap Z=(A^o \cup \partial [/mm] A [mm] \cup [/mm] (X [mm] \backslash \overline{A})) \cap Z=(A^o \cap [/mm] Z) [mm] \cup (\partial [/mm] A [mm] \cap [/mm] Z) [mm] \cup [/mm] ((X [mm] \backslash \overline{A}) \cap [/mm] Z)$.
$(X [mm] \backslash \overline{A}) \cap [/mm] Z$ kann ich natürlich noch zu $Z [mm] \backslash \overline{A}$ [/mm] machen, aber na ja.
Dann könnte ich wieder sagen [mm] $\partial [/mm] A [mm] \cap [/mm] Z = [mm] \emptyset$ [/mm] und müsste dann zeigen, dass die anderen 2 Mengen offen sind, was mir aber auch nicht gelingt, wenn ich Z nicht gerade als offen voraussetze.
Irgendwie drehe ich mich im Kreis.
Teufel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:50 Di 04.05.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hmm ok, das habe ich auch schon versucht. Aber wenn ich das
> tue, habe ich folgendes:
>
> [mm]Z=X \cap Z=(A^o \cup \partial A \cup (X \backslash \overline{A})) \cap Z=(A^o \cap Z) \cup (\partial A \cap Z) \cup ((X \backslash \overline{A}) \cap Z)[/mm].
>
> [mm](X \backslash \overline{A}) \cap Z[/mm] kann ich natürlich noch
> zu [mm]Z \backslash \overline{A}[/mm] machen, aber na ja.
>
> Dann könnte ich wieder sagen [mm]\partial A \cap Z = \emptyset[/mm]
> und müsste dann zeigen, dass die anderen 2 Mengen offen
> sind, was mir aber auch nicht gelingt, wenn ich Z nicht
> gerade als offen voraussetze.
Das brauchst du nicht, denn in der Teilraumtopologie sind die offenen Teilmengen von Z die Schnitte der offenen Mengen in X mit Z.
> Irgendwie drehe ich mich im Kreis.
Nein, du denkst nur nicht konsequent genug.
Wenn [mm]\partial A \cap Z = \emptyset[/mm] ist, so ist
[mm] Z = (A^o \cap Z) \cup ((X \backslash \overline{A}) \cap Z) [/mm],
aber [mm] $(A^o \cap [/mm] Z)$ und $(X [mm] \backslash \overline{A}) \cap [/mm] Z$ sind disjunkt. Da beide in der Teilraumtopologie offen sind, folgt die Behauptung.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:18 Di 04.05.2010 | | Autor: | Teufel |
Ok, sorry. Das mit der Teilraumtopologie wusste ich nicht und da wäre ich wohl auch nie drauf gekommen, da wir in der Vorlesung da kein Wort drüber verloren haben. Aber wenn das gilt, dann ist ja alles klar.
Vielen Dank und gute Nacht!
Teufel
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