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Hallo ich habe eine Frage bezüglich zusammenhängenden Teilmengen von topologischen Räumen.
Die Tatsache, ob eine Menge Zusammenhängend ist oder nicht hängt doch zunächst einmal von der Topologie auf diesem Raum ab oder?
Das Intervall [0,1] ist in [mm] \IR. [/mm] bzgl. der standardtopologie zusammenhängend aber nicht mehr, wenn man [mm] \IR [/mm] mit der diskreten Topologie ausstattet.
Soweit erstmal korrekt?
Nun weis man ja dass wegzusammenhängende Räume auch zusammenhängend sind. Aber im Beweis in meinem Buch wird dort benutzt, dass das Intervall [0,1] zusammenhängend ist.
Vielmehr wird behauptet dass alle intervalle in [mm] \IR [/mm] zusammenhängend sind.
Ich verstehe dass dies für die standardtopologie auf [mm] \IR [/mm] der Fall ist.
Oder wird einfach gefordert das der "Weg" auf der standardtopologie definiert ist`?
Wie ist das zu verstehen?
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:22 Fr 29.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hallo ich habe eine Frage bezüglich zusammenhängenden
> Teilmengen von topologischen Räumen.
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> Die Tatsache, ob eine Menge Zusammenhängend ist oder nicht
> hängt doch zunächst einmal von der Topologie auf diesem
> Raum ab oder?
Na sicher.
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> Das Intervall [0,1] ist in [mm]\IR.[/mm] bzgl. der standardtopologie
> zusammenhängend aber nicht mehr, wenn man [mm]\IR[/mm] mit der
> diskreten Topologie ausstattet.
>
> Soweit erstmal korrekt?
Ja
>
> Nun weis man ja dass wegzusammenhängende Räume auch
> zusammenhängend sind. Aber im Beweis in meinem Buch wird
> dort benutzt, dass das Intervall [0,1] zusammenhängend
> ist.
> Vielmehr wird behauptet dass alle intervalle in [mm]\IR[/mm]
> zusammenhängend sind.
>
> Ich verstehe dass dies für die standardtopologie auf [mm]\IR[/mm]
> der Fall ist.
>
> Oder wird einfach gefordert das der "Weg" auf der
> standardtopologie definiert ist'?
>
> Wie ist das zu verstehen?
Wahrscheinlich ist [mm] \IR [/mm] ausgestattet mit der Standardtopologie.
Ich hab leider keine Ahnug von welchem Buch Du sprichst, von welchem Satz Du sprichst, ......
FRED
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>
> Liebe Grüße
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Also im Buch "Topologie" von Jänich im Kapitel "1.6 Zusammenhang " schreibt er, dass jeder "Wegzusammenhängende Raum auch zusammenhängend ist"
Das beweist er, indem er zunächst annimmt X sei "wegzusammenhängend" und "nicht zusammenhängend" zugleich. Dann gibt es nach definition von zusammenhängend zwei offene, disjunkte und nicht leere Mengen A,B, s.d. [mm] X=A\cup [/mm] B . Sei nun x [mm] \in [/mm] A und [mm] y\in [/mm] B
Dann gibt er einen weg [mm] \gamma [/mm] :[0,1]->X an, der x und y verbindet. und betrachtet die Urbilder [mm] \gamma^-1(A), \gamma^-1(B) [/mm] und argumentiert dann so:
[mm] \gamma^-1(A) \cup \gamma^-1(B)=[0,1] [/mm] ist eine disjunkte offene nicht leere Vereinigung von [0,1]. Dies kann aber nicht sein, da [0,1] zusammenhängend ist.
Folglich muss X zusammenhängend sein.
Im Prinzip legt er doch den Teilraum [0,1] mit der Standardtopologie fest.
Ist das immer so, dass der "weg" oder "pfad" nach definition eine abbildung ist mit obigem definitionsbereich? Das ist zwar nicht explizit in der definition gesagt, aber vielleicht doch immer gemeint?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:41 Fr 29.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> Also im Buch "Topologie" von Jänich im Kapitel "1.6
> Zusammenhang " schreibt er, dass jeder
> "Wegzusammenhängende Raum auch zusammenhängend ist"
> Das beweist er, indem er zunächst annimmt X sei
> "wegzusammenhängend" und "nicht zusammenhängend"
> zugleich. Dann gibt es nach definition von zusammenhängend
> zwei offene, disjunkte und nicht leere Mengen A,B, s.d.
> [mm]X=A\cup[/mm] B . Sei nun x [mm]\in[/mm] A und [mm]y\in[/mm] B
> Dann gibt er einen weg [mm]\gamma[/mm] :[0,1]->X an, der x und y
> verbindet. und betrachtet die Urbilder [mm]\gamma^-1(A), \gamma^-1(B)[/mm]
> und argumentiert dann so:
> [mm]\gamma^-1(A) \cup \gamma^-1(B)=[0,1][/mm] ist eine disjunkte
> offene nicht leere Vereinigung von [0,1]. Dies kann aber
> nicht sein, da [0,1] zusammenhängend ist.
>
> Folglich muss X zusammenhängend sein.
>
> Im Prinzip legt er doch den Teilraum [0,1] mit der
> Standardtopologie fest.
Genau
> Ist das immer so, dass der "weg" oder "pfad" nach
> definition eine abbildung ist mit obigem
> definitionsbereich?
Ja
> Das ist zwar nicht explizit in der
> definition gesagt, aber vielleicht doch immer gemeint?
Ja
FRED
>
> Gruß
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