Zusammenhänge Hessem., Spur < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:34 Di 24.02.2015 | | Autor: | SoWhat |
| Aufgabe | | Bei der Berechnung von Extremwerten einer (bel. oft stetig diffbaren) Funktion mit 2 Variablen ergibt sich eine 1) nicht symmetrische Matrix, 2) symmetrische Matrix als Hessematrix. |
Hallo,
meine Frage hierzu ist eine Verständnisfrage.
Wenn ich die Hessematrix zu einem stationären Punkt gebildet habe, dann
1)
berechne ich die Determinante der Hessematrix zum Punkt und den Wert des Punktes in der 2. Ableitung und schließe daraus, welcher Art der stationäre Punkt ist.
2)
Ist die Hessematrix zudem symmetrisch, dann berechne ich die Determinante und kann ohne Einsetzen des Punktes gleich mit der Spur argumentieren.
Frage1:
Die Determinante berechne ich ja in beiden Fällen. Wieso folgt bei 1) die positive definitheit aus dem Wert des stationären Punktes in der 2. Ableitung?
Frage 2:
Bei 2) folgt wegen der symmetrie der Matrix, was bedeutet, dass die eigenwerte auf der Hauptdiagonalen liegen, dass definitheit aus der Spur abgelesen werden kann.
Die Spur ist aber doch die Summe der Diagonalelemente. Für positive Definitheit müssen doch aber alle Eigenwerte positiv sein, nicht? [mm] e_1 [/mm] =3, [mm] e_2 [/mm] = -1 auf der Diagonale ergäbe doch auch eine positive Summer.
Danke für eure Zeit!!!!!!!!!!!!!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:55 Mi 25.02.2015 | | Autor: | fred97 |
Sei A eine symmetrische 2x2 -Matrix und [mm] \lambda_1 [/mm] und [mm] \lambda_2 [/mm] ihre Eigenwerte.
Dann: [mm] spur(A)=\lambda_1+\lambda_2 [/mm] und [mm] det(A)=\lambda_1*\lambda_2 [/mm]
Nachtrag:
1. A ist indefinit [mm] \gdw [/mm] det(A)<0.
2. A ist positiv definit [mm] \gdw [/mm] det(A)>0 und spur(A)>0
3. A ist negativ definit [mm] \gdw [/mm] det(A)>0 und spur(A)<0
FRED
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