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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:08 Sa 23.01.2010 | | Autor: | a_la_fin |
| Aufgabe | Es seien f,g [mm] \in [/mm] C ( [mm] \IIR [/mm] ), sodass f und g in (-1, 0) [mm] \cup [/mm] (0, 1) keine Nullstellen besitzen. Wenn f = o (g) für x [mm] \rightarrow [/mm] 0, dann ist g = o (f) für x [mm] \rightarrow [/mm] 0.
Wahr oder falsch?
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Hallo zusammen.
Mein Ansatz bei dieser Aufgabe war folgender: Der erste Satz bedeutet, dass f und g (außer evtl. 0) keine Nullstellen haben, also f(x) [mm] \not= [/mm] 0 und g(x) [mm] \not= [/mm] 0 für x [mm] \in [/mm] { (-1,1) \ {0} } haben. Das muss ja eig. nur ausgeschlossen werden, damit in den Nennern der Brüche dann keine Nullen stellen. Und der Fall x=0 kann ja nicht sein, weil x ja nur GEGEN Null geht und diese aber nie erreicht.
Wenn f = o(g) bedeutet das, dass [mm] \limes_{x\rightarrow0} [/mm] | [mm] \bruch{f(x)}{g(x)} [/mm] |= 0 und deswegen muss [mm] \limes_{x\rightarrow0} [/mm] f(x) = 0 (Fall1) ODER aber [mm] \limes_{x\rightarrow0} [/mm] g(x) = [mm] \infty [/mm] (Fall2) sein (oder?). Jetz soll ich zeigen, dass bzw. ob dann [mm] \limes_{x\rightarrow0}|\bruch{g(x)}{f(x)}|= [/mm] 0, also dass entweder [mm] \limes_{x\rightarrow0} [/mm] g(x) = 0 (Fall 1') ODER [mm] \limes_{x\rightarrow0} [/mm] f(x) = [mm] \infty [/mm] (Fall 2') ist oder?
Also es ist ja so, dass wenn Fall 1 zutrifft, dann ja logischerweise Fall 2' nicht zutreffen, also muss Fall 1' zutreffen. Und wenn Fall 2 zutrifft, muss Fall 2' gelten. Nochmal kurz zusammengefasst: Es sei [mm] \limes_{x\rightarrow0} [/mm] | [mm] \bruch{f(x)}{g(x)} [/mm] |= 0
Dann: Fall 1: [mm] \limes_{x\rightarrow0} [/mm] f(x) = 0 [mm] \Rightarrow limes_{x\rightarrow0} [/mm] g(x) = 0 [mm] \Rightarrow \limes_{x\rightarrow0}|\bruch{g(x)}{f(x)}|= [/mm] 0
Fall 2: [mm] \limes_{x\rightarrow0} [/mm] f(x) = [mm] \infty \Rightarrow limes_{x\rightarrow0} [/mm] g(x) = [mm] \infty \Rightarrow \limes_{x\rightarrow0}|\bruch{g(x)}{f(x)}|= [/mm] 0
Damit habe ich es doch gezeigt, oder?
Also ist die Aussage wahr? Weil ja immer einer von beiden Fällen gelten muss. Oder Moment, woher will ich denn wissen, ob es genau so sein MUSS, oder ob auch eine Kombination Fall 1 und Fall 2' bzw. Fall 2 und Fall 1' zutreffen könnte (kann ja eig.?), so dass dann ja NICHT [mm] \Rightarrow \limes_{x\rightarrow0}|\bruch{g(x)}{f(x)}|= [/mm] 0 gilt. Ich bin ein bisschen verwirrt...
Danke schonmal für ein Feedback / einen Verbesserungsvorschlag!
lG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:25 So 24.01.2010 | | Autor: | Helbig |
Wenn $f$ und $g$ auch in $0$ stetig sind, wird die Aufgabe etwas einfacher, denn dann kann der Fall 2 gar nicht eintreten, es strebt ja $g(x) [mm] \to [/mm] g(0)$ für $x [mm] \to [/mm] 0$. Wenn $f(0) = 0$ und $g(0) [mm] \ne [/mm] 0$ ist, strebt [mm] $\bruch [/mm] {f(x)} {g(x)}$ gegen [mm] $\bruch [/mm] {f(0)} {g(0)}$ und man erhält $f [mm] \in [/mm] o(g)$ aber $g [mm] \not \in [/mm] o(f)$.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:59 So 24.01.2010 | | Autor: | a_la_fin |
f und g sind aber NICHT stetig in 0! zumindest steht davon nichts in der Aufgabenstellung... ist die Aussage also nicht (unbedingt) wahr? lG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:57 So 24.01.2010 | | Autor: | Helbig |
> f und g sind aber NICHT stetig in 0! zumindest steht davon
> nichts in der Aufgabenstellung... ist die Aussage also
> nicht (unbedingt) wahr? lG
Genau! Sie ist geradezu falsch! Sogar Funktionen, die in $0$ stetig sind, liefern ja ein Gegenbeispiel. Wenn man dagegen versucht, die Aussage zu beweisen, darf man die Stetigkeit in $0$ nicht annehmen. Aber bei der Konstruktion eines Gegenbeispiels schadet es nichts. Und macht das Ganze einfacher! Übrgigens kann man den Anfang der Aufgabe tatsāchlich so verstehen, daß $f$ und $g$ stetig sind. Insbesondere auch in $0$.
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