Zufallsvektor mit Dichte < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:49 Mo 14.07.2014 | | Autor: | Trikolon |
| Aufgabe | 1.Gegeben sein (X,Y) mit Dichte
[mm] f_{X,Y}(x,y)=K \I1_{ ( -\infty,0] x ( - \infty,0] } [/mm] (x,y) exp(3x+2y)
a) Bestimme die Konstante K.
b) Bestimme die Wkt P(X<Y)
c) Bestimme die Wkt P(min(X,Y)=-1)
2. Gegeben ist Dichte
[mm] f_{X,Y}(x,y)= \bruch{1}{T} \I1_{[0,T]} [/mm] (x) [mm] \I1_{[0, \infty]} [/mm] (y) [mm] \lambda [/mm] exp(- [mm] \lambda [/mm] y)
a) Bestimme die Dichte [mm] f_X(x) [/mm] und [mm] f_Y(y)
[/mm]
b) Bestimme die Dichte der Zufallsvariablen X+Y. |
1. Die a) war kein Problem K=6.
b) Muss man hier das Integral von [mm] -\infty [/mm] bis y bilden?
c) Hier hab ich keine Idee.
2.
Zuerst hab ich gezeigt, dass das tatsächliche eine Dichte ist. Das ist klar.
zu a) [mm] f_X(x)= [/mm] 1/T [mm] \integral_{0}^{x}{\lambda exp(- \lambda y) dy} [/mm] = -1/T [mm] (exp(-\lambda [/mm] x)-1). Stimmt das?
und [mm] f_Y(y)= [/mm] 1/T [mm] \integral_{0}^{y}{\lambda exp(- \lambda y)dx}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:14 Mo 14.07.2014 | | Autor: | Fry |
Heißt es wirklich
$P(min(X,Y)=-1)$ ?
Die Wkeit müsste ja null sein.
Oder meinst du [mm] $P(min(X,Y)\le [/mm] -1)$?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:39 Mo 14.07.2014 | | Autor: | Trikolon |
Nein, da steht wirklich ein =
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:28 Mo 14.07.2014 | | Autor: | Fry |
Da ja X,Y stetig verteilt sind, haben einzelne "Punkte" Wkeit 0.
also P(min(X,Y)=-1)=0
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:41 Mo 14.07.2014 | | Autor: | Fry |
Zu 1b)
[mm]A:=\{(x,y)\in\mathbb R^2, x
[mm]P(X
[mm]=\int_A f(x,y)\lambda^2(dx,dy)[/mm]
[mm]=\int_{-\infty}^{0}\int_{-\infty}^{y}f(x,y)dx dy = \int_{-\infty}^{0}\int_{x}^{0}f(x,y)dy dx[/mm]
Vg,
Fry
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:48 Mo 14.07.2014 | | Autor: | Trikolon |
Danke schon mal. Wie funktioniert die 2?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:14 Mo 14.07.2014 | | Autor: | Fry |
[mm]f_X(x)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)dy[/mm]
Analog für [mm]f_Y(y)[/mm]
[mm]f(x,y)[/mm] iat das Produkt aus der Dichte einer R(0,T)-Verteilung
und einer [mm]Exp(\lambda)[/mm]-Verteilung.
Insbesondere sind also X und Y unabhängig. Damit hat [mm]X+Y[/mm]
als Dichte das Faltungsprodukt [mm]R(0,T)\*Exp(\lambda)[/mm]
d.h.
[mm]f_{X+Y}(z)=\int_{-\infty}^{\infty}f_{X}(z-y)f_{Y}(y)dy[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:16 Mo 14.07.2014 | | Autor: | Trikolon |
In meinem ersten Post hatte ich ja bereits etwas zur Dichte von [mm] f_X(x) [/mm] bzw [mm] f_Y(y) [/mm] geschrieben. War das korrekt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:19 Mo 14.07.2014 | | Autor: | Fry |
Nein, da hast du ja nicht über ganz [mm] $\mathbb [/mm] R$ integriert...
Du hast auch die Indikatorfunktionen vergessen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:28 Mo 14.07.2014 | | Autor: | Trikolon |
Aber da y zwischen 0 und unendlich liegt, kann ich doch gar nicht ueber ganz R integrieren
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:32 Mo 14.07.2014 | | Autor: | Fry |
Jap, aber dann musst du das Integral auf 0 bis unendlich einschränken
bzw bei der anderen Dichte auf 0 bis T einschränken. Bei dir steht aber x bzw y als obere Grenze.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:30 Di 15.07.2014 | | Autor: | Trikolon |
So?
[mm] f_X(x)=\integral_{0}^{\infty}{1/T \lambda exp(\lambda y) dy}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:42 Di 15.07.2014 | | Autor: | Fry |
Du darfst die Indikatorfunktion nicht unter den Tisch fallen lassen.
> [mm]f_X(x)=\integral_{0}^{\infty}{1/T*1_{[0,T]}(x) \lambda exp(\lambda y) dy}
=1/T*1_{[0,T]}(x)\integral_{0}^{\infty}{ \lambda exp(\lambda y) dy}[/mm]
Jetzt kannst du z.B. argumentieren, dass der Term vor dem Integral bereits eine W-Dichte (Rechteckverteilung) ist,
also muss das Integral 1 sein (ansonsten würde ja das Integral von [mm] $f_X$ [/mm] über [mm] $\mathbb [/mm] R$ nicht mehr 1 sein).
Oder: Das Integral muss 1 sein, da der Integrand eine W-Dichte ist(Exponentialverteilung).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:36 So 20.07.2014 | | Autor: | Trikolon |
Und wie würde man nun bei der 1. Aufgabe P(X<Y) bestimmen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:18 So 20.07.2014 | | Autor: | Fry |
Das steht bereits in meiner ersten Antwort.
Gruß,
Fry
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Könntest du da mal bitte die letzte Gleichheit erklären?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Di 22.07.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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