Zufallsvariablen < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | [mm] X_{1} [/mm] und [mm] X_{2} [/mm] sind 2 unabh. diskrete Zufallsvariablen mit [mm] P(X_{1}=k)=c*3^{-k} [/mm] und [mm] P(X_{2}=k)=d*4^{-k} [/mm] für k aus [mm] \IN [/mm] und [mm] X_{1}, X_{2} [/mm] gelte fast sicher (0 nicht zu [mm] \IN)
[/mm]
Nun sind die Konstanten c und d gesucht sowie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass [mm] X_{1}=X_{2} [/mm] |
Hi, also ich kann mit der Aufgabe irgendwie noch nicht wirklich viel anfangen, also ich weiss dass Zufallsvariablen Abbildungen sind, die den Ergebnissen Werte zordnet. Nun weiss ich leider nicht, wie ich an die Aufgabe rangehen soll. kann mir jemand nen hinweis geben???
mfg piccolo
|
|
| |
|
Hey, also die a) hab ich jetzt raus, c=2 und d=3. Aber für die b) weiss ich nicht so recht, ich hab einfach mal (mit den Werten eingesetzt aus a)) gleichgesetzt:
[mm] 2*3^{-k}=3*4^{-k} [/mm] dann bekomm ich für k nen ausdruck mit ln, der keiner natürlichen zahl entspricht, kann das sein??? bzw. wie interpretiere ich das, ist dann die wahrscheinlichkeit gleich null???
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:49 Do 29.10.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin,
mach dir mal eine unendliche Matrix, deren Zeilen du mit [mm] $i=1,2,3,\dots$ [/mm] und deren Spalten du mit [mm] $j=1,2,3,\dots$ [/mm] bezeichnest. In die Zelle $(i,j)$ schreibst du [mm] $P(X_1=i,X_2=j)$. [/mm] Wo liegen die Zellen, wo [mm] $X_1=X_2$ [/mm] gilt? Wie gross ist also [mm] $P(X_1=X_2)$?
[/mm]
vg Luis
|
|
|
| |
|
dann müssten die Einträge in der Matrix ja auf der Hauptdiagonalen sein. hmm aber ich weiss jetzt nicht, wie ich dafür die wahrscheinlichkeit ausrechnen kann??
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:01 Do 29.10.2009 | | Autor: | luis52 |
> dann müssten die Einträge in der Matrix ja auf der
> Hauptdiagonalen sein. hmm aber ich weiss jetzt nicht, wie
> ich dafür die wahrscheinlichkeit ausrechnen kann??
Aber [mm] $X_1,X_2$ [/mm] sind doch *unabhaengig*! Eine alte Bauernregel besagt,
dass dann gilt [mm] $P(X_1=i,X_2=j)=P(X_1=i)P(X_2=j)$.
[/mm]
vg Luis
|
|
|
| |
|
Aso ja klar, das hab ich ebend nich bedacht, kann ich dann einfach einsetzen und dann steht als ergebnis dann da:
[mm] 2*3^{-k}*3*4^{-k}=6*12^{-k} [/mm] ??? ist das so dann richtig??
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:07 Do 29.10.2009 | | Autor: | luis52 |
> Aso ja klar, das hab ich ebend nich bedacht, kann ich dann
> einfach einsetzen und dann steht als ergebnis dann da:
> [mm]2*3^{-k}*3*4^{-k}=6*12^{-k}[/mm] ??? ist das so dann richtig??
Nein, was ist denn $k_$? Du musst ueber die Diagonale addieren.
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
vg Luis
|
|
|
| |
|
oh man das ist echt schon spät, das hab ich vergessen hinzuschreiben,
also siehts dann so aus?
[mm] 6*\summe_{k=1}^{\infty}(\frac{1}{12})^{k}=6*(\frac{1}{1-\frac{1}{12}})-6*1=0,545454...
[/mm]
dabei hab ich die geometrische reihe betrachtet und da die summe hier erst bei 1 losgeht hab ich dann noch den term für k=0 mit 6 multipliziert abgezogen.
mfg piccolo
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:32 Fr 30.10.2009 | | Autor: | luis52 |
> also siehts dann so aus?
>
> [mm]6*\summe_{k=1}^{\infty}(\frac{1}{12})^{k}=6*(\frac{1}{1-\frac{1}{12}})-6*1=0,545454...[/mm]
>
> dabei hab ich die geometrische reihe betrachtet und da die
> summe hier erst bei 1 losgeht hab ich dann noch den term
> für k=0 mit 6 multipliziert abgezogen.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
vg Luis
|
|
|
|
