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Zufallsvariablen: Beweis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:33 Mi 01.12.2004
Autor: adonis1981

Hallo!

Sitze mal wieder an meinem Übungsblatt und hänge diemal an einem Beweis:

z.Z.: Für jede [mm] \IN_{0}-wertige [/mm] Zufallsvariable X auf einem WSK-Raum [mm] (\Omega,P) [/mm] gilt:

1.) [mm] E(X)=\summe_{n=1}^{\infty} P(X\ge [/mm] n)

2.) [mm] E(X^{2})=\summe_{n=1}^{\infty} (2n-1)P(X\ge [/mm] n).

Kann mir jemand dabei weiterhelfen?
hab nämlich keine Ahnung davon, wie ich an die Sache rangehen soll.
Vielen Dank schon mal im Voraus.
MfG
Mario
        
Bezug
Zufallsvariablen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:49 Do 02.12.2004
Autor: Marc

Hallo Mario,

> Hallo!
>  
> Sitze mal wieder an meinem Übungsblatt und hänge diemal an
> einem Beweis:
>  
> z.Z.: Für jede [mm]\IN_{0}-wertige[/mm] Zufallsvariable X auf einem
> WSK-Raum [mm](\Omega,P)[/mm] gilt:
>  
> 1.) [mm]E(X)=\summe_{n=1}^{\infty} P(X\ge[/mm] n)

Das ist doch nicht so schwierig (das sag' ich, für den die Stochastik ein Buch mit sieben Siegeln ist :-))

Der Erwartungswert einer (diskreten) Zufallsvariable ist doch definiert als

[mm] $E(X)=\summe_{x\in X(\Omega)} [/mm] x*P(X=x)$

(jeder "Funktionswert" von X wird mit seiner W'keit multipliziert)

Nun ist X [mm] $N_0$-wertig, [/mm] es gilt also

[mm] $E(X)=\summe_{n\in N_0} n*P(X=n)=\summe_{n=1}^{\infty} [/mm] n*P(X=n)$

Wegen [mm] $n=\summe_{k=1}^{n} [/mm] 1$ kann ich auch schreiben:

[mm] $=\summe_{n=1}^{\infty} \left(\summe_{k=1}^{n} 1\right)*P(X=n)$ [/mm]

[mm] $=\summe_{n=1}^{\infty} \left(\summe_{k=1}^{n} P(X=n)\right)$ [/mm]

$=P(X=1)\ +\ P(X=2)+P(X=2)\ +\ P(X=3)+P(X=3)+P(X=3)\ +\ P(X=4)+P(X=4)+P(X=4)+P(X=4)\ +\ [mm] \ldots$ [/mm]

[mm] $=\underbrace{P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+\ldots}_{=P(X\ge1)}\ [/mm] +\ [mm] \underbrace{P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+\ldots}_{=P(X\ge2)}\ [/mm] +\ [mm] \underbrace{P(X=3)+P(X=3)+\ldots}_{=P(X\ge 3)}\ [/mm] +\ [mm] \underbrace{P(X=4)+\ldots}_{=P(X\ge 4}\ [/mm] +\ [mm] \ldots$ [/mm]

[mm] $=\summe_{n=1}^{\infty} P(X\ge [/mm] n)$

> 2.) [mm]E(X^{2})=\summe_{n=1}^{\infty} (2n-1)P(X\ge[/mm] n).

Diese Aufgabe löst sich ganz genauso :-)

Viele Grüße,
Marc


Bezug
                
Bezug
Zufallsvariablen: Danke!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:44 Sa 04.12.2004
Autor: adonis1981

Vielen lieben Dank für Deine Hilfe!
Hab die andere Aufgabe dann alleine rausbekommen!
Vielen Dank für Deine Hilfe!
VlG
Mario
Bezug
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