Zufallsvariable f.s. konstant < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 19:22 Sa 01.05.2010 | | Autor: | ball |
| Aufgabe | Sei $X$ eine Zufallsvariable auf einem W-Raum [mm] $(\Omega,\mathcal [/mm] U,P)$ und [mm] $\mathcal [/mm] C$ eine [mm] Unter-$\sigma$-Algebra [/mm] von [mm] $\mathcal [/mm] U$. Für $A [mm] \in \mathcal [/mm] C$ gelte, dass $P(A) [mm] \in \{0,1\}$. [/mm]
Behauptung: Ist $X$ [mm] $\mathcal [/mm] C-$messbar, so ist $X$ fast sicher konstant. |
Kann ja eigentlich nicht so schwer sein, aber ich bin mir nicht sicher.
Zu zeigen ist: [mm] $\exists [/mm] a [mm] \in \IR [/mm] : [mm] P(\{X=a\})=1$. [/mm]
Angenommen das Gegenteil gilt, d.h. [mm] $\forall [/mm] a [mm] \in \IR [/mm] : [mm] P(\{X=a\})\ne [/mm] 1$. Sei $a [mm] \in \IR$ [/mm] beliebig.
Wg. Voraussetzungen gilt [mm] $P(\{X=a\})=0$ [/mm] und
$1 = [mm] P(\{X\ne a\}) [/mm] = [mm] P(\{X < a\}) [/mm] + [mm] P(\{X > a\})$
[/mm]
O.E. sei [mm] $P(\{X < a\}) [/mm] = 0, [mm] P(\{X > a\}) [/mm] = 1$, damit auch [mm] $P(\{X \le a\}) [/mm] = 0$.
Sei $A := [mm] \{a \in \IR : P(\{X \le a\})=0\}$, [/mm] diess Menge muss nach oben beschränkt sein (sonst wäre [mm] $P(\Omega)=0$), [/mm] sei $z:=supA$.
Sei $b > z$. Dann gilt [mm] $P(\{X > b\}) [/mm] = 0$
(andernfalls wäre [mm] $P(\{X \le b\}) [/mm] = 0$ im Widerspruch zur Wahl von $z$).
Es folgt: $1= [mm] P(\{X \ge z\} \setminus \{X > b\}) [/mm] = [mm] P(\{X \in [z,b) \})$
[/mm]
Sei $c [mm] \in [/mm] [z,b)$ beliebig gewählt. Dann gilt [mm] $P(\{X \in [z,c) \}) [/mm] = 1$, da [mm] $P(\{X \in [z,b) \}) [/mm] = 0$ ein Widerspruch zur Wahl von $z$ als Supremum wäre.
Mit $c:=z$ folgt [mm] $P(\{X = z \}) [/mm] = [mm] P(\{X \in [z,z) \}) [/mm] = 1$, das ist jedoch gerade das Gegenteil der getroffenen Annahme.
Jetzt habe ich gezeigt: [mm] $\neg [/mm] Behauptung [mm] \Rightarrow [/mm] Behauptung$, das kann doch nicht richtig sein...
Wäre für jeden Tip dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Di 04.05.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Di 04.05.2010 | | Autor: | gfm |
> Sei [mm]X[/mm] eine Zufallsvariable auf einem W-Raum
> [mm](\Omega,\mathcal U,P)[/mm] und [mm]\mathcal C[/mm] eine
> Unter-[mm]\sigma[/mm]-Algebra von [mm]\mathcal U[/mm]. Für [mm]A \in \mathcal C[/mm]
> gelte, dass [mm]P(A) \in \{0,1\}[/mm].
> Behauptung: Ist [mm]X[/mm] [mm]\mathcal C-[/mm]messbar, so ist [mm]X[/mm] fast sicher
> konstant.
> Kann ja eigentlich nicht so schwer sein, aber ich bin mir
> nicht sicher.
> Zu zeigen ist: [mm]\exists a \in \IR : P(\{X=a\})=1[/mm].
>
> Angenommen das Gegenteil gilt, d.h. [mm]\forall a \in \IR : P(\{X=a\})\ne 1[/mm].
> Sei [mm]a \in \IR[/mm] beliebig.
> Wg. Voraussetzungen gilt [mm]P(\{X=a\})=0[/mm] und
> [mm]1 = P(\{X\ne a\}) = P(\{X < a\}) + P(\{X > a\})[/mm]
>
> O.E. sei [mm]P(\{X < a\}) = 0, P(\{X > a\}) = 1[/mm], damit auch
> [mm]P(\{X \le a\}) = 0[/mm].
> Sei [mm]A := \{a \in \IR : P(\{X \le a\})=0\}[/mm],
> diess Menge muss nach oben beschränkt sein (sonst wäre
> [mm]P(\Omega)=0[/mm]), sei [mm]z:=supA[/mm].
>
> Sei [mm]b > z[/mm]. Dann gilt [mm]P(\{X > b\}) = 0[/mm]
> (andernfalls wäre [mm]P(\{X \le b\}) = 0[/mm] im Widerspruch zur
> Wahl von [mm]z[/mm]).
>
> Es folgt: [mm]1= P(\{X \ge z\} \setminus \{X > b\}) = P(\{X \in [z,b) \})[/mm]
>
> Sei [mm]c \in [z,b)[/mm] beliebig gewählt. Dann gilt [mm]P(\{X \in [z,c) \}) = 1[/mm],
> da [mm]P(\{X \in [z,b) \}) = 0[/mm] ein Widerspruch zur Wahl von [mm]z[/mm]
> als Supremum wäre.
>
> Mit [mm]c:=z[/mm] folgt [mm]P(\{X = z \}) = P(\{X \in [z,z) \}) = 1[/mm], das
> ist jedoch gerade das Gegenteil der getroffenen Annahme.
>
> Jetzt habe ich gezeigt: [mm]\neg Behauptung \Rightarrow Behauptung[/mm],
> das kann doch nicht richtig sein...
Du sagst doch mit
> Sei [mm]b > z[/mm]. Dann gilt [mm]P(\{X > b\}) = 0[/mm]
> (andernfalls wäre [mm]P(\{X \le b\}) = 0[/mm] im Widerspruch zur
> Wahl von [mm]z[/mm]).
>
> Es folgt: [mm]1= P(\{X \ge z\} \setminus \{X > b\}) = P(\{X \in [z,b) \})[/mm]
dass
[mm]P(\{X \in [z,b) \})=1[/mm] für alle b>z. Dann darf man doch auch über den Umweg mit c nicht b=z wählen oder?
Was anderes:
[mm] \forall t\in\IR:\{X\le t\}\in \mathcal{C}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \forall t\in\IR:F_X(t):=P(\{X\le t\})=0\vee F_X(t)=1
[/mm]
Aus den Eigenschaften der Verteilungsfunktion folgt die Existenz eines [mm] t_0 [/mm] mit [mm] F_X(t)=1 [/mm] für [mm] t\ge t_0 [/mm] und [mm] F_X(t)=0 [/mm] für [mm] t
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