Zufallsvariable < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:52 Di 26.03.2013 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Def.: Eine reellwertige funktion X aus Grundraum [mm] \Omega [/mm] heißt Zufallsvaribale. X : [mm] \Omega [/mm] -> [mm] \IR
[/mm]
Die Gewichtung
k [mm] \in X(\omega) [/mm] = [mm] \Omega_x
[/mm]
[mm] p_x [/mm] (k) = [mm] P({\omega : X(\omega) =k\})= [/mm] P(X=k)
defeniert dann ein W-keitsmaß [mm] P_x [/mm] auf [mm] \Omega_x
[/mm]
[mm] (P_x [/mm] (A) := [mm] \sum_{y\in A} p_x [/mm] (y) := [mm] \sum_{y\in A} [/mm] P(X=y)
A [mm] \in P(\Omega_x))
[/mm]
Offensichtlicg erfüllt [mm] P_x [/mm] die Sigma-Additivität
[mm] P_x [\bigcup_{i\ge1} A_i [/mm] ]= P [X [mm] \in \bigcup_{i\ge1} A_i [/mm] ]= [mm] P[\bigcup_{i\ge1} [/mm] (X [mm] \in A_i [/mm] )] = [mm] \sum [/mm] P[X [mm] \in A_i] [/mm] = [mm] \sum P_x [A_i] [/mm] |
Hallo, wir haben letzte stunde Zufallsvariablen eingeführt und fühle mich damit noch nicht wirklich vertraut.
Warum gilt : [mm] P_x [\bigcup_{i\ge1} A_i [/mm] ]= P [X [mm] \in \bigcup_{i\ge1} A_i [/mm] ]
wenn ich mir das genau anschauen:
[mm] P_x (\bigcup_{i\ge1} A_i [/mm] ) := [mm] \sum_{y\in \bigcup_{i\ge1} A_i} p_x [/mm] (y) := [mm] \sum_{y\in \bigcup_{i\ge1} A_i} [/mm] P(X=y)
Komme ich nun von der "verkehrten Seite"?
> P [X [mm] \in \bigcup_{i\ge1} A_i [/mm] ]= [mm] P[\bigcup_{i\ge1} [/mm] (X [mm] \in A_i [/mm] )]
ist mir auch nicht klar.
LG
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:28 Di 26.03.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo sissile,
> Def.: Eine reellwertige funktion X aus Grundraum [mm]\Omega[/mm]
> heißt Zufallsvaribale. X : [mm]\Omega[/mm] -> [mm]\IR[/mm]
> Die Gewichtung
> k [mm]\in X(\omega)[/mm] = [mm]\Omega_x[/mm]
> [mm]p_x[/mm] (k) = [mm]P({\omega : X(\omega) =k\})=[/mm] P(X=k)
> defeniert dann ein W-keitsmaß [mm]P_x[/mm] auf [mm]\Omega_x[/mm]
>
> [mm](P_x[/mm] (A) := [mm]\sum_{y\in A} p_x[/mm] (y) := [mm]\sum_{y\in A}[/mm] P(X=y)
> A [mm]\in P(\Omega_x))[/mm]
>
> Offensichtlicg erfüllt [mm]P_x[/mm] die Sigma-Additivität
> [mm]P_x [\bigcup_{i\ge1} A_i[/mm] ]= P [X [mm]\in \bigcup_{i\ge1} A_i[/mm]
> ]= [mm]P[\bigcup_{i\ge1}[/mm] (X [mm]\in A_i[/mm] )] = [mm]\sum[/mm] P[X [mm]\in A_i][/mm] =
> [mm]\sum P_x [A_i][/mm]
Hoffentlich wurde auch vernünftig die Bedeutung von Schreibweisen wie $P(X=k)$ und [mm] $P(X\in [/mm] A)$ eingeführt: Sie sind Abkürzungen von [mm] $P(\{X=k\})$ [/mm] bzw. [mm] $P(\{X\in A\})$, [/mm] wobei [mm] $\{X=k\}$ [/mm] und [mm] $\{X\in A\}$ [/mm] wiederum abkürzende Schreibweisen für [mm] $\{\omega\in\Omega\;|\;X(\omega)=k\}$ [/mm] bzw. [mm] $\{\omega\in\Omega\;|\;X(\omega)\in A\}$ [/mm] sind.
So oder so wirkt die Einführung von [mm] $P_X$ [/mm] reichlich umständlich. Aber gut, lassen wir uns mal auf diesen Ansatz ein.
> Warum gilt : [mm]P_x [\bigcup_{i\ge1} A_i[/mm] ]= P [X [mm]\in \bigcup_{i\ge1} A_i[/mm]
> ]
> wenn ich mir das genau anschauen:
> [mm]P_x (\bigcup_{i\ge1} A_i[/mm] ) := [mm]\sum_{y\in \bigcup_{i\ge1} A_i} p_x[/mm] (y) := [mm]\sum_{y\in \bigcup_{i\ge1} A_i}[/mm] P(X=y)
Genau.
Jetzt können wir z.B. die Sigma-Additivität von $P$ ins Spiel bringen: Die Ereignisse [mm] $\{X=y\}$ [/mm] für [mm] $y\in\bigcup_{i\ge1}A_i$ [/mm] sind abzählbar viele paarweise disjunkte Ereignisse (Warum?). Somit gilt
[mm] $\sum_{y\in \bigcup_{i\ge1} A_i}P(X=y)=P\left(\bigcup_{y\in\bigcup_{i\ge1}A_i}\{X=y\}\right)$.
[/mm]
Nun ist noch
[mm] $\bigcup_{y\in\bigcup_{i\ge1}A_i}\{X=y\}=\{X\in\bigcup_{i\ge1}A_i\}$
[/mm]
zu überlegen.
Z.B. durch Nachprüfen beider Inklusionen (Teilmengenbeziehungen):
Sei [mm] $\omega\in\bigcup_{y\in\bigcup_{i\ge1}A_i}\{X=y\}$. [/mm] Dann existiert ein [mm] $y\in\bigcup_{i\ge1}A_i$ [/mm] mit [mm] $\omega\in\{X=y\}$, [/mm] d.h. [mm] $\omega\in\Omega$ [/mm] und [mm] $X(\omega)=y$. [/mm] Insbesondere [mm] $X(\omega)\in\bigcup_{i\ge1}A_i$ [/mm] und somit [mm] $\omega\in\{X\in\bigcup_{i\ge1}A_i\}$ [/mm] wie gewünscht.
Sei nun umgekehrt [mm] $\omega\in\{X\in\bigcup_{i\ge1}A_i\}$. [/mm] Dann gilt [mm] $\omega\in\Omega$ [/mm] und [mm] $X(\omega)\in\bigcup_{i\ge1}A_i$. [/mm] Wegen [mm] $\omega\in\{X=X(\omega)\}$ [/mm] existiert somit ein [mm] $y\in\bigcup_{i\ge1}A_i$ [/mm] (nämlich [mm] $y:=X(\omega)$) [/mm] mit [mm] $\omega\in\{X=y\}$. [/mm] Also wie gewünscht [mm] $\omega\in\bigcup_{y\in\bigcup_{i\ge1}A_i}\{X=y\}$.
[/mm]
Übrigens kann man sich genauso überlegen: Für jedes [mm] $A\subseteq\Omega_X$ [/mm] gilt
[mm] $P_X(A)=P(X\in [/mm] A)$.
Das sollte man sich am besten merken, dann muss man es sich nicht ständig neu überlegen. Übrigens wird [mm] $P_X$ [/mm] normalerweise eher so eingeführt.
> > P [X [mm]\in \bigcup_{i\ge1} A_i[/mm] ]= [mm]P[\bigcup_{i\ge1}[/mm] (X [mm]\in A_i[/mm]
> )]
> ist mir auch nicht klar.
Zeige [mm] $\{X\in\bigcup_{i\ge1}A_i\}=\bigcup_{i\ge1}\{X\in A_i\}$ [/mm] (z.B. wieder durch Nachprüfen beider Inklusionen).
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
|
