Zufallsvariable < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:07 Do 23.11.2006 | | Autor: | Blefix |
| Aufgabe | X: omega [mm] \to \IN [/mm] Zufallsvariable
Zeige: a) E(x) = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] P(X [mm] \ge [/mm] n)
b) [mm] E(x^{2}) [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] (2n-1) P(X [mm] \ge [/mm] n) |
Hallöchen
Komme einfach nicht weiter mit dieser Aufgabe.
Ich hab aus der Vorlesung ein paar Definitionen zu a), wie z.B. :
E(x) = [mm] \summe_{w \in omega}^{} [/mm] X(w) P(w) = [mm] \summe_{n \ge 1}^{} [/mm] nP( [mm] \{w | x(w)=n\}) [/mm] = [mm] \summe_{n \ge 1}^{} [/mm] nP(x=n)
Man müsste dann noch zeigen:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] P(x [mm] \ge [/mm] n) = [mm] \summe_{n \ge 1}^{} [/mm] nP(x=n)
Doch das sehe ich leider nicht.
Zu b) habe ich folgendes:
[mm] E(x^{2}) [/mm] = [mm] \summe_{w \in omega}^{} X(w)^{2} [/mm] P(w) = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} n^{2}P(X=n)
[/mm]
bleibt zu zeigen:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} n^{2}P(X=n) [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] (2n-1)P(X [mm] \ge [/mm] n)
Kann mir da jemand weiter helfen?
Danke im Vorraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo Blefix,
du siehst einfach den Wald vor lauter Baeumen nicht. Die Loesung ist total simpel und hat fast nichts mit Stochastik zu tun.
Bei der a) muss du, wie du sagst, zeigen:
[mm] $\summe_{n=1}^{\infty}P(x \ge [/mm] n)$ [mm] =$\summe_{n=1}^{\infty}$[red]n[/red]$P(x=n)$ [/mm] (Fehler korrigiert)
Es gibt zwei Varianten...
erstens stochastisch:
du ersetzt $P(x=n)$ durch [mm] $P(x{\ge}n)-P(x{\ge}n+1)$ [/mm] und schiebst die Summanden passend herum,
oder zweitens anschaulich:
In der linken Summe steckt P(x=n) in genau n Summanden drin, naemlich im ersten, im zweiten, im dritten, usw. bis zum n-ten, denn es gilt z.B.
[mm] $P(x{\ge}3)=P(x=3)+P(x=4)+\dots+P(x=n)+\dots$.
[/mm]
Man hat in der Summe also immer genau n-mal den Beitrag P(x=n).
Bei der b) ist es genauso, nur muss du hier ausnutzen, dass
[mm] $n^2+\ (2n+1)=(n+1)^2$.
[/mm]
Hilft dir dieser Tip weiter?
Hugo
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:52 Do 23.11.2006 | | Autor: | Blefix |
Vielen Dank schon mal im Vorraus,
Lasse mir das jetzt mal durch den Kopf gehen und dann wird das schon klappen. 
Schönen Tag noch
Blefix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:50 Do 23.11.2006 | | Autor: | Blefix |
Auch auf die Gefahr hin mich schrecklich zu blamieren stelle ich meine Fragen zu deiner Antwort.
Ich muss ja noch zeigen laut meinen Aufzeichnungen
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] P(x [mm] \ge [/mm] n) = [mm] \summe_{n \ge 1}^{} [/mm] nP(x=n)
Aber [mm] \summe_{n \ge 1}^{} [/mm] nP(x=n) ist doch nicht das gleiche wie [mm] \summe_{n=1}^{\infty} [/mm] P(x=n), wie du es geschrieben hast, oder?
Was heißt denn das genau, wenn über Summenformel gar nichts steht?
Hoffe du hälst mich jetzt nicht für völlig belämmert
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:48 Do 23.11.2006 | | Autor: | luis52 |
> Auch auf die Gefahr hin mich schrecklich zu blamieren
> stelle ich meine Fragen zu deiner Antwort.
>
> Ich muss ja noch zeigen laut meinen Aufzeichnungen
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}[/mm] P(x [mm]\ge[/mm] n) = [mm]\summe_{n \ge 1}^{}[/mm]
> nP(x=n)
>
> Aber [mm]\summe_{n \ge 1}^{}[/mm] nP(x=n) ist doch nicht das gleiche
> wie [mm]\summe_{n=1}^{\infty}[/mm] P(x=n), wie du es geschrieben
> hast, oder?
Da hast du Recht, Hugo_Sanchez-Vicario hat den Faktor vergessen. Lies $ [mm] \summe_{n \ge 1} [/mm] nP(x=n) $ wie $ [mm] \summe_{n =1}^{\infty} [/mm] nP(x=n) $
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:44 Do 23.11.2006 | | Autor: | Blefix |
Hi nochmal,
also a) hab ich jetzt dank tatkräftiger Unterstützung geschafft.
Aber bei b) haberts noch .
Irgendwie hilft mir der Tip leider nicht so wirklich.
Wäre noch für eine kleine Hilfestunde dankbar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:20 Sa 25.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
