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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:20 Di 08.05.2012 | | Autor: | dimi727 |
| Aufgabe | Seien X, Y und Z unabhäangige, zum Parameter p [mm] \in [/mm] (0; 1) auf N geometrisch verteilte Zufallsvariable.
(i) Berechnen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten:
(a) P(X [mm] \ge [/mm] 2Y )
(b) P(X [mm] \not= [/mm] Y )
(c) P(X + Y [mm] \le [/mm] Z) |
Hey allerseits,
ich weiß nicht so recht,wie ich die obere Aufgabe angehen soll.
Mein Problem ist,dass wir bei den Aufgaben die Wahrscheinlichkeit vom ZUsammenhang zweier Zufallsvariablen ausrechnen sollen.
In Übungsaufgaben hatten wir aber nur Fälle wie P( X < n ) oder ähnlich. Wie verfahre ich nun in diesem Fall? Kann ich das Y wie eine Zahl behandeln?
Mein Ansatz war zB für a)
P(X [mm] \ge [/mm] 2Y) = 1 - P(X [mm] \le [/mm] 2Y-1) = 1 - p [mm] \summe_{i=1}^{2Y-1}q^{i-1} [/mm] ...
Kann ich das so machen oder muss ich erstmal die Zufallsgrößen iwie umformen?
für b) :
P(X [mm] \not= [/mm] Y) = 1-P(X=Y) = 1-P(X=x, Y=x) = (Unabhängigkeit) = 1-P(X=x)*P(Y=x) = 1- [mm] (p(1-p)^{x-1}p(1-p)^{x-1}) [/mm] = [mm] 1-p^{2}(1-p)^{2(x-1)}
[/mm]
mfg
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Hallo,
> Seien X, Y und Z unabhäangige, zum Parameter p [mm]\in[/mm] (0; 1)
> auf N geometrisch verteilte Zufallsvariable.
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> (i) Berechnen Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten:
> (a) P(X [mm]\ge[/mm] 2Y )
> (b) P(X [mm]\not=[/mm] Y )
> (c) P(X + Y [mm]\le[/mm] Z)
> Hey allerseits,
>
> ich weiß nicht so recht,wie ich die obere Aufgabe angehen
> soll.
>
> Mein Problem ist,dass wir bei den Aufgaben die
> Wahrscheinlichkeit vom ZUsammenhang zweier Zufallsvariablen
> ausrechnen sollen.
>
> In Übungsaufgaben hatten wir aber nur Fälle wie P( X < n
> ) oder ähnlich. Wie verfahre ich nun in diesem Fall? Kann
> ich das Y wie eine Zahl behandeln?
>
> Mein Ansatz war zB für a)
>
> P(X [mm]\ge[/mm] 2Y) = 1 - P(X [mm]\le[/mm] 2Y-1) = 1 - p
> [mm]\summe_{i=1}^{2Y-1}q^{i-1}[/mm] ...
>
> Kann ich das so machen oder muss ich erstmal die
> Zufallsgrößen iwie umformen?
Ich sehe nicht, dass dies zielführend ist.
Verwende die totale Wahrscheinlichkeit für die Ereignisse [mm] A_k=\{Y=k\}:
[/mm]
$P(X [mm] \ge 2Y)=\sum_{k=1}^\infty P(Y=k)P(X\ge [/mm] 2k)$.
Das lässt sich gut ausrechnen.
>
>
> für b) :
>
> P(X [mm]\not=[/mm] Y) = 1-P(X=Y) = 1-P(X=x, Y=x) = (Unabhängigkeit)
> = 1-P(X=x)*P(Y=x) = 1- [mm](p(1-p)^{x-1}p(1-p)^{x-1})[/mm] =
> [mm]1-p^{2}(1-p)^{2(x-1)}[/mm]
Nein, es gilt doch nicht P(X=Y)=P(X=x,Y=x) für ein x.
Stattdessen gilt [mm] $P(X=Y)=\sum_{k=1}^\infty [/mm] P(X=k)P(Y=k)$.
LG
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 03:15 Mi 09.05.2012 | | Autor: | dimi727 |
Also b) ist bei mir aufgegangen und ich habe [mm] \bruch{2*(1-p)}{2-p} [/mm] raus.
Ich habe aber eine Frage zur schreibweise und zum verständnis,da ich das alles irgendwie nicht ganz verstanden habe..
P(X [mm] \not= [/mm] Y) =
1-P(X=Y) =(tot. Wkeit) =
1 - [mm] \summe_{k=1}^{\infty}P(X=k,Y=k) [/mm] =(unabhängigkeit)= [mm] \summe_{k=1}^{\infty} [/mm] P(X=k)P(Y=k) = ... = [mm] \bruch{2*(1-p)}{2-p} [/mm]
Ist das so korrenkt?
Bei a) versteh ich zB wegen meinem Unwissen irgendwie den Schritt nicht :
P(X [mm] \ge 2Y)=\sum_{k=1}^\infty P(Y=k)P(X\ge [/mm] 2k)
Hier ist die Formel für tot Wkeit :
http://www.mathematik.uni-ulm.de/stochastik/lehre/ws03_04/wr/skript/node18.html
Ich kann mir gerade nicht zusammenreinem .. A ist bei uns (X [mm] \ge [/mm] 2Y) schon bedingt..?
Ich probiere es trotzdem mit deinem Schritt (unendlich ersetze ich erstmal durch n) :
P(X [mm] \ge 2Y)=\sum_{k=1}^n P(Y=k)P(X\ge [/mm] 2k) =
[mm] \sum_{k=1}^n p*q^{k-1} [/mm] * (1- [mm] P(X\le [/mm] 2k-1) =
[mm] \sum_{k=1}^n p*q^{k-1} [/mm] * (1- [mm] \sum_{i=1}^{2k-1} pq^{i-1}) [/mm] =
[mm] \sum_{k=1}^n p*q^{k-1} [/mm] * (1- [mm] p\sum_{i=0}^{2k-3} q^{i}) [/mm] =
[mm] \sum_{k=1}^n p*q^{k-1} [/mm] * (1- [mm] p\bruch{1-q^{2k-1}}{1-(1-p)}) [/mm] =
[mm] \sum_{k=1}^n p*q^{k-1} [/mm] * (1- [mm] (1-q^{2k-1})) [/mm] =
[mm] \sum_{k=1}^n p*q^{k-1} [/mm] * [mm] (q^{2k-1}) [/mm] =
[mm] p\sum_{k=1}^n q^{k-1} [/mm] * [mm] q^{2k-1} [/mm] =
[mm] p\sum_{k=1}^n q^{3k-2} [/mm] =
[mm] p\sum_{k=0}^{n-1} q^{3k+1} [/mm] = p [mm] \bruch{1-q^{3n+1}}{1-q^{4}}
[/mm]
Mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] ergibt sich dann : [mm] \bruch{p}{1-q^{4}}
[/mm]
Ich glaube Fehler gemacht zu haben..oder vlt. doch richtig?
Und bei c) komme ich auch nicht weiter..
Hier muss ich doch jeweils X und Y festhalten? Oder geht das so:
[mm] \sum_{k,j \in N} [/mm] P(X=k)P(Y=j)P(Z [mm] \ge [/mm] k+j) ?
Ich weiß es ist viel, ich danke schonmal für die Hilfe, ich muss das verstehen.
mfg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Mi 09.05.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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