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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:40 Mi 18.04.2012 | | Autor: | Dicen |
| Aufgabe | Seien n [mm] \in\IN [/mm] und q [mm] \in[0;1].
[/mm]
Zeigen Sie, dass die Abbildung:
[mm]p(i_1,....i_n)[/mm]=[mm]q^{\sum_{k=1}^{N} i_k}[/mm]*[mm](1-q)^{1-\sum_{k=1}^{N} i_k}[/mm]
eine Zähldichte auf [mm]\Omega=\{0;1\}^n[/mm] definiert. |
Hey,
ich bin neu hier und hoffe, dass ich im richtigen Bereich bin, wenn nicht, dann bitte ich den Thread zu verschiben.
Ich bin neu in der Stochastik und scheine noch ein paar Probleme mit dieser Denkweise zu haben. Wenn ich richtig informiert bin, dann bedeutet Zähldichte doch, dass alle [mm]p(\omega) \geq 0[/mm] und [mm]\summe_{k=1}^{N} p(\omega] = 1[/mm].
Die erste Bedingung ist klar, die zweite stellt eine kleine Hürde für mich dar.
Ich habe bisher 2 Dinge versucht. Einerseits hab ichs versucht nach oben und unten Abzuschätzen für 1 abzuschätzen. Größergleich 1 habe ich hinbekommen, kleinergleich 1 habe ich mir bisher gespart, da ich mir nicht sicher bin, ob es wirklich zum Ziel führt.
Andererseits habe ich versucht über die Sigmadditivität zu gehen. Bin mir aber nicht ganz sicher, was das zu beudeuten hat.
Also in Worten bedeutet das doch sowas wie "Die Wahrscheinlichkeit der Vereinigung derbetrachteten Ereignisse ist gleich der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten."
Wenn ich aber doch alle möglichen Ereignisse betrachte, also alle Möglichkeiten für Treffer-Nichtreffer betrachte, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass eines davon eintritt, doch eben 1.
Sollte das richtig sein, könnte man es dann so formulieren?
[mm]p(i_j)=(1-q)^{(n-k)}*q^(n)[/mm]´
Da es [mm]{n \choose k}[/mm] verschiedene Möglichkeiten gibt Treffer zu erhalten gilt: [mm]\summe_{k=1}^{N} p_k = \summe_{k=1}^{N} {n \choose k}*q^n*(1-q)^{n-k}[/mm] mit [mm](p_k), k\in\IN[/mm] und [mm]k \geq N[/mm] die Familie aller möglichen Wahrscheinlichkeiten.
Dann binomischer Lehrsatz und es sollte 1 rauskommen.
P.S.: Hoffe das mit der Eingabe hat funktioniert. Sonst gehe ich jetzt nochmal drüber, nicht verzweifeln, habe das noch nicht so oft gemacht.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Dicen,
die 11 Korrekturen waren völlig ausreichend, dein Beitrag sieht nun ok aus 
> Wenn ich richtig
> informiert bin, dann bedeutet Zähldichte doch, dass alle
> [mm]p(\omega) \geq 0[/mm] und [mm]\summe_{k=1}^{N} p(\omega] = 1[/mm].
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Andererseits habe ich versucht über die Sigmadditivität
> zu gehen. Bin mir aber nicht ganz sicher, was das zu
> beudeuten hat.
Bei Dichten gibt es gar keine "Sigma-Additivität".
> [mm]p(i_j)=(1-q)^{(n-k)}*q^(n)[/mm]´
> Da es [mm]{n \choose k}[/mm] verschiedene Möglichkeiten gibt
> Treffer zu erhalten gilt: [mm]\summe_{k=1}^{N} p_k = \summe_{k=1}^{N} {n \choose k}*q^n*(1-q)^{n-k}[/mm]
> mit [mm](p_k), k\in\IN[/mm] und [mm]k \geq N[/mm] die Familie aller
> möglichen Wahrscheinlichkeiten.
>
> Dann binomischer Lehrsatz und es sollte 1 rauskommen.
Die Idee ist richtig, auch wenn ich noch nicht so sicher bin, dass du die Menge richtig erfasst hast.
Deine Menge besteht ja aus n-Tupeln, d.h. bspw. [mm] $\underbrace{(1,0,0,\ldots,1,0,1)}_{\text{n Eintraege}}$ [/mm] und jedem dieser Tupel wird nun die Wahrscheinlichkeit [mm] $p^\text{Anzahl der Einsen}*(1-p)^\text{Anzahl der Nullen}$ [/mm] zugeordnet.
Die Frage ist nun: Wie viele Elemente haben denn nun gerade die WKeit [mm] $p^k(1-p)^{n-k}$ [/mm] ? Wie du richtig erkannt hast, sind das gerade ${n [mm] \choose [/mm] k}$.
Über alle Möglichkeiten für $k [mm] \in \{0,\ldots,n\}$ [/mm] aufsummiert (damit erwischen wir so auch alle Elemente), ergibt das nach dem binomischen Lehrsatz eben gerade 1, auch das hast du richtig erkannt 
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:56 Do 19.04.2012 | | Autor: | Dicen |
> Hallo Dicen,
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> die 11 Korrekturen waren völlig ausreichend, dein Beitrag
> sieht nun ok aus
Hab mein bestes getan. :D
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> > Wenn ich richtig
> > informiert bin, dann bedeutet Zähldichte doch, dass alle
> > [mm]p(\omega) \geq 0[/mm] und [mm]\summe_{k=1}^{N} p(\omega] = 1[/mm].
>
>
>
> > Andererseits habe ich versucht über die Sigmadditivität
> > zu gehen. Bin mir aber nicht ganz sicher, was das zu
> > beudeuten hat.
>
> Bei Dichten gibt es gar keine "Sigma-Additivität".
Das verstehe ich nicht. Also mir ist mittlerweile irgendwie klar, dass Zähldichten keine Wahrscheinlichkeiten sind, aber wieso funktioniert diese Sigmadditivität nicht?
Das ist mir noch nicht ganz klar.
>
> > [mm]p(i_j)=(1-q)^{(n-k)}*q^(n)[/mm]´
> > Da es [mm]{n \choose k}[/mm] verschiedene Möglichkeiten gibt
> > Treffer zu erhalten gilt: [mm]\summe_{k=1}^{N} p_k = \summe_{k=1}^{N} {n \choose k}*q^n*(1-q)^{n-k}[/mm]
> > mit [mm](p_k), k\in\IN[/mm] und [mm]k \geq N[/mm] die Familie aller
> > möglichen Wahrscheinlichkeiten.
> >
> > Dann binomischer Lehrsatz und es sollte 1 rauskommen.
>
> Die Idee ist richtig, auch wenn ich noch nicht so sicher
> bin, dass du die Menge richtig erfasst hast.
>
> Deine Menge besteht ja aus n-Tupeln, d.h. bspw.
> [mm]\underbrace{(1,0,0,\ldots,1,0,1)}_{\text{n Eintraege}}[/mm] und
> jedem dieser Tupel wird nun die Wahrscheinlichkeit
> [mm]p^\text{Anzahl der Einsen}*(1-p)^\text{Anzahl der Nullen}[/mm]
> zugeordnet.
>
> Die Frage ist nun: Wie viele Elemente haben denn nun gerade
> die WKeit [mm]p^k(1-p)^{n-k}[/mm] ? Wie du richtig erkannt hast,
> sind das gerade [mm]{n \choose k}[/mm].
>
> Über alle Möglichkeiten für [mm]k \in \{0,\ldots,n\}[/mm]
> aufsummiert (damit erwischen wir so auch alle Elemente),
> ergibt das nach dem binomischen Lehrsatz eben gerade 1,
> auch das hast du richtig erkannt
>
> MFG,
> Gono.
OK, jetzt nur noch mathematisch korrekt formulieren. :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:33 Do 19.04.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Dicen und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> > die 11 Korrekturen waren völlig ausreichend, dein Beitrag
> > sieht nun ok aus
>
> Hab mein bestes getan. :D
Direkt unter dem Texteingabefeld befindet sich übrigens ein Button "Vorschau", mit dem du deine Beiträge vor dem Abschicken schon einmal anschauen kannst.
Die Zähldichte soll wohl nicht
[mm]p(i_1,....i_n)[/mm]=[mm]q^{\sum_{k=1}^{\green{N}} i_k}[/mm]*[mm](1-q)^{\blue{1}-\sum_{k=1}^{\green{N}} i_k}[/mm]
sondern
[mm]p(i_1,....i_n)[/mm]=[mm]q^{\sum_{k=1}^{\green{n}} i_k}[/mm]*[mm](1-q)^{\blue{n}-\sum_{k=1}^{\green{n}} i_k}[/mm]
lauten.
> > > Andererseits habe ich versucht über die Sigmadditivität
> > > zu gehen. Bin mir aber nicht ganz sicher, was das zu
> > > beudeuten hat.
> >
> > Bei Dichten gibt es gar keine "Sigma-Additivität".
>
> Das verstehe ich nicht. Also mir ist mittlerweile irgendwie
> klar, dass Zähldichten keine Wahrscheinlichkeiten sind,
> aber wieso funktioniert diese Sigmadditivität nicht?
> Das ist mir noch nicht ganz klar.
Zähldichten $p$ geben schon Wahrscheinlichkeiten an, sind jedoch keine Wahrscheinlichkeitsverteilungen $P$.
$p$ ist eine Abbildung von [mm] $\Omega$ [/mm] nach $[0,1]$. Da lässt sich gar keine Sigma-Additivität formulieren: Was soll für [mm] $\omega_0,\omega_1,\omega_2,\ldots\in\Omega$ [/mm] denn "paarweise disjunkt" oder die Vereinigung [mm] $\bigcup_{n\in\IN_0} \omega_n$ [/mm] bedeuten? Schließlich sind die [mm] $\omega_n$ [/mm] ja gar keine Mengen.
> OK, jetzt nur noch mathematisch korrekt formulieren. :)
Starte mit
[mm] $\sum_{(i_1,\ldots,i_n)\in\Omega}p(i_1,\ldots,i_n)=\sum_{j=0}^n\sum_{\substack{(i_1,\ldots,i_n)\in\Omega \\ \sum_{k=1}^ni_k=j}}p(i_1,\ldots,i_n)=\ldots$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:28 Do 19.04.2012 | | Autor: | Dicen |
> Hallo Dicen und herzlich !
>
>
> > > die 11 Korrekturen waren völlig ausreichend, dein Beitrag
> > > sieht nun ok aus
> >
> > Hab mein bestes getan. :D
> Direkt unter dem Texteingabefeld befindet sich übrigens
> ein Button "Vorschau", mit dem du deine Beiträge vor dem
> Abschicken schon einmal anschauen kannst.
Ahhhh, ok, das machts um einiges einfacher, habe ich gestern übersehen, danke!
>
>
> Die Zähldichte soll wohl nicht
>
> [mm]p(i_1,....i_n)[/mm]=[mm]q^{\sum_{k=1}^{\green{N}} i_k}[/mm]*[mm](1-q)^{\blue{1}-\sum_{k=1}^{\green{N}} i_k}[/mm]
>
> sondern
>
> [mm]p(i_1,....i_n)[/mm]=[mm]q^{\sum_{k=1}^{\green{n}} i_k}[/mm]*[mm](1-q)^{\blue{n}-\sum_{k=1}^{\green{n}} i_k}[/mm]
>
> lauten.
Jep.
>
>
> > > > Andererseits habe ich versucht über die Sigmadditivität
> > > > zu gehen. Bin mir aber nicht ganz sicher, was das zu
> > > > beudeuten hat.
> > >
> > > Bei Dichten gibt es gar keine "Sigma-Additivität".
> >
> > Das verstehe ich nicht. Also mir ist mittlerweile irgendwie
> > klar, dass Zähldichten keine Wahrscheinlichkeiten sind,
> > aber wieso funktioniert diese Sigmadditivität nicht?
> > Das ist mir noch nicht ganz klar.
> Zähldichten [mm]p[/mm] geben schon Wahrscheinlichkeiten an, sind
> jedoch keine Wahrscheinlichkeitsverteilungen [mm]P[/mm].
>
> [mm]p[/mm] ist eine Abbildung von [mm]\Omega[/mm] nach [mm][0,1][/mm]. Da lässt sich
> gar keine Sigma-Additivität formulieren: Was soll für
> [mm]\omega_0,\omega_1,\omega_2,\ldots\in\Omega[/mm] denn "paarweise
> disjunkt" oder die Vereinigung [mm]\bigcup_{n\in\IN_0} \omega_n[/mm]
> bedeuten? Schließlich sind die [mm]\omega_n[/mm] ja gar keine
> Mengen.
Ahh, jetzt habe ich auch verstanden was Zähldichten sind, ok, dann ist es klar, dass das nicht funktioniert.
>
>
> > OK, jetzt nur noch mathematisch korrekt formulieren. :)
> Starte mit
>
> [mm]\sum_{(i_1,\ldots,i_n)\in\Omega}p(i_1,\ldots,i_n)=\sum_{j=0}^n\sum_{\substack{(i_1,\ldots,i_n)\in\Omega \\ \sum_{k=1}^ni_k=j}}p(i_1,\ldots,i_n)=\ldots[/mm].
>
>
> Viele Grüße
> Tobias
Bin schon fertig und hab auch so angefangen.
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