ZuFällige Summe, Waldsche Ide. < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeigen, dass für die zufällige Summe [mm] S_N=\summe_{i=1}^{N}X_i [/mm] mit der erzeugenden Funktion [mm] g_{S_N}(t)=g_N(g_{X_1}(t)), [/mm] die Walsche Identität gilt, also [mm] E(S_N)=E(N)*E(X_1). [/mm] |
Hi,
wollte dies mal beweisen, habe das aber nicht wirklich hinbekommen. habe dazu einen Beweis im Internet gefunden, den ich aber nicht so gut finde und auch nicht verstehe.
hier mal die Lösung von denen:
Nach der Kettenregel ist [mm] (g_{S_N}(t))'=(g_N)'(g_{X_1}(t))(g_{X_1}(t))' [/mm] und beim Grenzübergang t [mm] \to [/mm] 1-0 strebt [mm] g_{X_1}(t) [/mm] gegen 1. Setzt man [mm] 0*\infty=\infty*0=0, [/mm] so ist dabei sogar gestattet, dass E(N) oder [mm] E(X_1) [/mm] oder beide unendlich sind.
So, dass soll mal jemand verstehen :-/. Hat jemand vielleicht Tipps für einen anderen Lösungsgang oder Erklärungen hierfür??
Danke.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:45 Mo 11.01.2010 | | Autor: | jaruleking |
Hi,
keiner ne Idee zu dieser Aufgabe???
Grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:05 Di 12.01.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Zeigen, dass für die zufällige Summe
> [mm]S_N=\summe_{i=1}^{N}X_i[/mm] mit der erzeugenden Funktion
> [mm]g_{S_N}(t)=g_N(g_{X_1}(t)),[/mm] die Walsche Identität gilt,
> also [mm]E(S_N)=E(N)*E(X_1).[/mm]
Nehmen wir mal an, dass [mm] $g_N$ [/mm] und [mm] $g_{X_1}$ [/mm] und somit auch [mm] $g_{S_N}$ [/mm] in einer Umgebung von 0 existieren.
> wollte dies mal beweisen, habe das aber nicht wirklich
> hinbekommen. habe dazu einen Beweis im Internet gefunden,
> den ich aber nicht so gut finde und auch nicht verstehe.
>
> hier mal die Lösung von denen:
>
> Nach der Kettenregel ist
> [mm](g_{S_N}(t))'=(g_N)'(g_{X_1}(t))(g_{X_1}(t))'[/mm] und beim
> Grenzübergang t [mm]\to[/mm] 1-0 strebt [mm]g_{X_1}(t)[/mm] gegen 1.
Ich weiss nicht was dieses 1-0 bedeuten soll. Man betrachtet doch $t = 0$, und zwar ganz ohne Grenzuebergang: man hat naemlich [mm] $g_{S_N}'(0) [/mm] = [mm] E(S_N)$, [/mm] $g'_N(0) = E(N)$ und [mm] $g'_{X_1}(0) [/mm] = [mm] E(X_1)$, [/mm] und man hat [mm] $g_{X_1}(0) [/mm] = 1$.
> Setzt man [mm]0*\infty=\infty*0=0,[/mm] so ist dabei sogar gestattet, dass
> E(N) oder [mm]E(X_1)[/mm] oder beide unendlich sind.
Nun, wenn $E(N)$ oder [mm] $E(X_1)$ [/mm] gleich unendlich sind, dann existiert [mm] $g_N$ [/mm] bzw. [mm] $g_{X_1}$ [/mm] nicht in 0. Also muss man diese Faelle gesondert betrachten.
Hier zeigt sich: ist eins von beiden 0, so folgt $N = 0$ bzw. [mm] $X_1 [/mm] = 0$ fast sicher, und somit [mm] $S_N [/mm] = 0$ fast sicher, also [mm] $E(S_N) [/mm] = 0$. Also braucht man $0 [mm] \cdot [/mm] x = 0 [mm] \cdot [/mm] x = 0$ fuer alle $x [mm] \in \IR \cup \{ \infty \}$. [/mm] Sind dagegen beide ungleich 0 und mindestens eins ist unendlich, so folgt [mm] $E(S_N) [/mm] = [mm] \infty$, [/mm] und man braucht $x [mm] \cdot \infty [/mm] = [mm] \infty \cdot [/mm] x = [mm] \infty$ [/mm] fuer $x > 0$.
Hilft dir das weiter?
LG Felix
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Hi,
ich hätte nochmal ne frage:
> Man betrachtet doch $ t = 0 $, und zwar ganz ohne Grenzuebergang: man hat naemlich $ [mm] g_{S_N}'(0) [/mm] = [mm] E(S_N) [/mm] $, $ g'_N(0) = E(N) $ und $ [mm] g'_{X_1}(0) [/mm] = [mm] E(X_1) [/mm] $, und man hat $ [mm] g'_{X_1}(0) [/mm] = [mm] E(X_1) [/mm] $.
Wie kommst du hier auf:
- [mm] g_{S_N}'(0) [/mm] = [mm] E(S_N) [/mm]
- g'_N(0) = E(N)
- [mm] g'_{X_1}(0) [/mm] = [mm] E(X_1)
[/mm]
- [mm] g'_{X_1}(0) [/mm] = [mm] E(X_1)
[/mm]
Diese Sachen habe ich noch nicht so verstanden, wie du auf die kommst....
Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 04:24 Do 14.01.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > Man betrachtet doch [mm]t = 0 [/mm], und zwar ganz ohne
> Grenzuebergang: man hat naemlich [mm]g_{S_N}'(0) = E(S_N) [/mm],
> [mm]g'_N(0) = E(N)[/mm] und [mm]g'_{X_1}(0) = E(X_1) [/mm], und man hat
> [mm]g'_{X_1}(0) = E(X_1) [/mm].
>
> Wie kommst du hier auf:
>
> - [mm]g_{S_N}'(0)[/mm] = [mm]E(S_N)[/mm]
> - g'_N(0) = E(N)
> - [mm]g'_{X_1}(0)[/mm] = [mm]E(X_1)[/mm]
> - [mm]g'_{X_1}(0)[/mm] = [mm]E(X_1)[/mm]
>
> Diese Sachen habe ich noch nicht so verstanden, wie du auf
> die kommst....
Schau mal in euer Skript. Da habt ihr sicher eine Aussage ueber momenterzeugende Funktionen, u.a. dass wenn [mm] $g_X$ [/mm] in einer Umgebung von 0 definiert ist, dass [mm] $g_X$ [/mm] dort differenzierbar ist mit [mm] $g_X^{(n)}(0) [/mm] = [mm] E(X^n)$ [/mm] fuer alle $n [mm] \in \IN$.
[/mm]
LG Felix
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