Zorns Lemma, Atome < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] $(\Omega,\mathcal{F})$ [/mm] ein messbarer Raum, wobei [mm] $\Omega$ [/mm] abzählbar ist.
Eine Menge [mm] $A\neq\emptyset$ [/mm] heißt Atom von [mm] $\mathcal{F}$, [/mm] falls [mm] $B\in\mathcal{F}, B\subset A\Rightarrow B=\emptyset$
[/mm]
I)
Jedes Element von [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] lässt sich als abzählbare Vereinigung von Atomen darstellen. |
Hallo,
ich beschäftige mich derzeit mit dieser Aufgabe.
Ich weiß, dass diese Aufgabe das Lemma von Zorn benötigt. Jedoch wäre ich da wahrscheinlich nicht drauf gekommen.
Gibt es hier in der Aufgabenstellung einen "Hinweis", dass man wohl das Lemma von Zorn benötigen wird?
Oft benötigt man das Lemma ja, wenn man zeigen möchte, dass etwas maximales existiert.
So etwas erkenne ich hier nicht unbedingt.
Vielleicht, dass man mit einer maximalen Vereinigung von Atomen jedes beliebige Element aus [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] erzeugen kann?
Das Lemma von Zorn lautet wie folgt:
Sei $(P, [mm] \leq)$ [/mm] eine partiell geordnete Menge.
Wenn jede Kette [mm] $C\subseteq [/mm] P$ eine obere Schranke besitzt, dann gibt es in $P$ ein maximales Element.
Der erste Schritt müsste es nun sein sich diese Ketten und eine partielle Ordnung zu überlegen?
Mein erster Gedanke wäre einfach [mm] $P=\mathcal{P}(\Omega)$ [/mm] (die Potenzmenge von [mm] $\Omega$) [/mm] und als partielle Ordnung die Teilmengeninklusion [mm] $\subseteq$ [/mm] zu probieren.
Dann wäre [mm] $P\in\mathcal{P}(\Omega)$ [/mm] ein maximales Element.
Die Ketten [mm] $C\subseteq\mathcal{P}(\Omega)$ [/mm] würden nun ja so aussehen, dass für alle [mm] $X,Y\in [/mm] C$ entweder [mm] $X\subseteq [/mm] Y$ oder [mm] $Y\subseteq [/mm] X$ gilt.
Nun müsste man sich überlegen, weshalb jede Kette ein maximales Element enthält.
Bisher sehe ich aber noch keinen Zusammenhang zur Aufgabe.
Dort soll ich ja zeigen, dass ich jedes [mm] $F\in\mathcal{F}$ [/mm] als abzählbare Vereinigung von Atomen darstellen kann.
Wenn also [mm] $A_1,\dotso, A_n$ [/mm] die Atome von [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] sind (die Atome sind jeweils paarweise disjunkt). Und $I$ die Indexmenge, dann
[mm] $\bigcup_{i\in I} A_i=F$
[/mm]
Ist hier irgendetwas brauchbares dabei?
Über Tipps würde ich mich sehr freuen.
Vielen Dank im voraus.
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Hiho,
deine Ideen sind soweit richtig, aber bisher nicht zielführend.
Die Idee das zu zeigen ist eigentlich recht simpel:
Sei [mm] $F\in\mathcal{F}$, [/mm] nun gilt:
1.) F ist Atom, so ist die Aussage klar
2.) F ist kein Atom, dann existiert also ein [mm] $A_1 \not=\emptyset, A_1\in \mathcal{F}, A_1\subset [/mm] F$ und es gilt insbesondere $F = [mm] A_1 \cup F\setminus A_1$
[/mm]
3.) Beginne bei 1.) mit $F' = [mm] F\setminus A_1$
[/mm]
Bricht diese Iteration nach endlich vielen Schritten ab, gilt offensichtlich $F = [mm] \bigcup_{k=1}^n A_k$
[/mm]
Interessant ist eben der Fall, dass diese Iteration abzählbar oft weitergeht.
Um dann zu schlussfolgern $F = [mm] \bigcup_{k=1}^\infty A_k$ [/mm] braucht's wohl das Lemma von Zorn (wobei ich das intuitiv auch erstmal nicht gedacht hätte).
Klar ist sofort $F [mm] \supset \bigcup_{k=1}^\infty A_k$, [/mm] da [mm] $A_k \subset [/mm] F$.
Und nun begründe mal $F [mm] \subset \bigcup_{k=1}^\infty A_k$
[/mm]
Gruß,
Gono
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> Und nun begründe mal $ F [mm] \subset \bigcup_{k=1}^\infty A_k [/mm] $
Überlegt hatte ich mir folgendes, wobei einiges Felixf schon genannt hat.
Sei [mm] $f\in [/mm] F$ beliebig. Ich möchte zeigen, dass dann [mm] $f\in\bigcup_{k=1}^{\infty} A_k$ [/mm] ist.
Nun wähle ich für alle [mm] $x\in [/mm] f$ die Atome so, dass [mm] $x\in A_k$. [/mm]
Mit dem Auswahlaxiom ist dies möglich.
Das Problem ist nun, dass ja [mm] $\overline{x}\in A_k$ [/mm] liegen kann, mit [mm] $\overline{x}\notin [/mm] f$.
Ich müsste nun zeigen, dass dies nicht passieren kann um weiter zu kommen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:02 Mo 07.09.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:56 Mi 26.08.2015 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei [mm](\Omega,\mathcal{F})[/mm] ein messbarer Raum, wobei [mm]\Omega[/mm]
> abzählbar ist.
>
> Eine Menge [mm]A\neq\emptyset[/mm] heißt Atom von [mm]\mathcal{F}[/mm],
> falls [mm]B\in\mathcal{F}, B\subset A\Rightarrow B=\emptyset[/mm]
>
> I)
>
> Jedes Element von [mm]\mathcal{F}[/mm] lässt sich als abzählbare
> Vereinigung von Atomen darstellen.
Dazu brauchst du kein Zornsches Lemma, das lässt sich auch einfacher beweisen.
Du musst zeigen:
1. Zu jedem $x [mm] \in \Omega$ [/mm] gibt es (mindestens) ein Atom $A$ mit $x [mm] \in [/mm] A$.
2. Ist $A$ ein Atom und $B [mm] \in \mathcal{F}$, [/mm] so gilt entweder $A [mm] \cap [/mm] B = [mm] \emptyset$ [/mm] oder $A [mm] \subseteq [/mm] B$.
Hier ist 2. einfach (betrachte die Teilmenge $A [mm] \cap [/mm] B$ von $A$). Für 1. muss man etwas mehr tun: setze $A := [mm] \bigcap_{B \in \mathcal{F} \atop x \in B} [/mm] B$. Da [mm] $\Omega \setminus [/mm] B$ abzählbar ist, kann man diesen Schnitt auf abzählbar viele Teilmengen von [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] einschränken, womit man einen abzählbaren Durchschnitt hat. Damit man die Wahl dieser abzählbar vielen Mengen eindeutig (ohne Auswahlaxiom / Zornsches Lemma) machen kann muss man ein wenig argumentieren, aber schwer ist das auch nicht.
Aus 1. und 2. folgt, dass es zu jedem $x [mm] \in \Omega$ [/mm] genau ein Atom [mm] $A_x$ [/mm] gibt mit $x [mm] \in A_x$. [/mm] Weiterhin folgt damit recht einfach folgendes:
3. $B = [mm] \bigcup_{x \in B} A_x$.
[/mm]
Da $B [mm] \subseteq \Omega$ [/mm] abzählbar ist, bist du also fertig. Wegen 2. kannst du auch eine Teilmenge von $B$ wählen, so dass die Vereinigung disjunkt ist. (Wegen der Abzählbarkeit brauchst du ebenfalls kein Zornsches Lemma / Auswahlaxiom.)
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:40 Do 27.08.2015 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hallo Felix,
intuitiv dachte ich das auch erst, dass es aufgrund der Abzählbarkeit ohne das Auswahlaxiom geht, aber [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] ist ja endlich oder überabzählbar und deine Aussage
> Da [mm]\Omega \setminus B[/mm] abzählbar ist, kann man diesen Schnitt auf abzählbar viele Teilmengen von [mm]\mathcal{F}[/mm] einschränken, womit man einen abzählbaren Durchschnitt hat.
sehe ich noch nicht.
Gruß,
Gono
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:17 Do 27.08.2015 | | Autor: | felixf |
Moin Gono!
> Hallo Felix,
>
> intuitiv dachte ich das auch erst, dass es aufgrund der
> Abzählbarkeit ohne das Auswahlaxiom geht, aber [mm]\mathcal{F}[/mm]
> ist ja endlich oder überabzählbar und deine Aussage
>
> > Da [mm]\Omega \setminus B[/mm] abzählbar ist, kann man diesen
> Schnitt auf abzählbar viele Teilmengen von [mm]\mathcal{F}[/mm]
> einschränken, womit man einen abzählbaren Durchschnitt
> hat.
>
> sehe ich noch nicht.
Die Menge [mm] $\Omega \setminus [/mm] B$ ist abzählbar, etwa [mm] $\Omega \setminus [/mm] B = [mm] \{ x_1, x_2, x_3, \dots \}$.
[/mm]
Zu jeden $i$ gibt es nun eine Menge [mm] $F_i \in \mathcal{F}$ [/mm] mit $B [mm] \subseteq F_i$ [/mm] und [mm] $x_i \not\in F_i$. [/mm] (Dass man eine solche Menge ohne Auswahlaxiom wählen kann ist eine andere Sache, dazu kannst du wieder die Abzählbarkeit von [mm] $\Omega$ [/mm] nutzen, um die Potenzmenge von [mm] $\Omega$ [/mm] explizit wohlzuordnen.)
Damit ist nun $B = [mm] \bigcap_{i \in \IN} F_i$.
[/mm]
LG Felix
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:01 Sa 29.08.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Felix!
> Die Menge [mm]\Omega \setminus B[/mm] ist abzählbar, etwa [mm]\Omega \setminus B = \{ x_1, x_2, x_3, \dots \}[/mm].
>
> Zu jeden [mm]i[/mm] gibt es nun eine Menge [mm]F_i \in \mathcal{F}[/mm] mit [mm]B \subseteq F_i[/mm]
> und [mm]x_i \not\in F_i[/mm]. (Dass man eine solche Menge ohne
> Auswahlaxiom wählen kann ist eine andere Sache, dazu
> kannst du wieder die Abzählbarkeit von [mm]\Omega[/mm] nutzen, um
> die Potenzmenge von [mm]\Omega[/mm] explizit wohlzuordnen.)
Bist du sicher, dass die Potenzmenge jeder abzählbaren Menge auch ohne Auswahlaxiom eine Wohlordnung besitzt?
Dann hätte ja [mm] $\mathcal{P}(\IN)$ [/mm] und damit auch [mm] $\IR$ [/mm] ohne Auswahlaxiom eine Wohlordnung!
Wie würdest du [mm] $\mathcal{P}(\IN)$ [/mm] wohlordnen?
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:53 So 30.08.2015 | | Autor: | felixf |
Moin Tobias!
> > Die Menge [mm]\Omega \setminus B[/mm] ist abzählbar, etwa [mm]\Omega \setminus B = \{ x_1, x_2, x_3, \dots \}[/mm].
>
> >
> > Zu jeden [mm]i[/mm] gibt es nun eine Menge [mm]F_i \in \mathcal{F}[/mm] mit [mm]B \subseteq F_i[/mm]
> > und [mm]x_i \not\in F_i[/mm]. (Dass man eine solche Menge ohne
> > Auswahlaxiom wählen kann ist eine andere Sache, dazu
> > kannst du wieder die Abzählbarkeit von [mm]\Omega[/mm] nutzen, um
> > die Potenzmenge von [mm]\Omega[/mm] explizit wohlzuordnen.)
> Bist du sicher, dass die Potenzmenge jeder abzählbaren
> Menge auch ohne Auswahlaxiom eine Wohlordnung besitzt?
>
> Dann hätte ja [mm]\mathcal{P}(\IN)[/mm] und damit auch [mm]\IR[/mm] ohne
> Auswahlaxiom eine Wohlordnung!
>
> Wie würdest du [mm]\mathcal{P}(\IN)[/mm] wohlordnen?
Hmm, ich glaube meine Idee hat doch nicht ganz so funktioniert... Schade :)
Wenn mir noch was gutes einfällt (was ohne Auswahlaxiom auskommt), melde ich mich. Ich bezweifle es allerdings gerade.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:07 Mo 31.08.2015 | | Autor: | tobit09 |
Vielen Dank für deine Antwort.
Obwohl dein Beweis also wohl nicht ohne Auswahlaxiom auskommt, gefällt er mir gut. 
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> Dazu brauchst du kein Zornsches Lemma, das lässt sich auch einfacher beweisen.
Das ist natürlich interessant, dass man es auch ohne Auswahlaxiom, oder dazu äquivalenten Aussagen, beweisen kann.
Interessieren würde ich mich für beide alternativen.
Eins finde ich jedoch ein wenig "verwirrend".
Ich halte das Auswahlaxiom für ein recht schweres Geschütz und ich habe immer das Gefühl, dass man es nur benutzt wenn es anders gar nicht mehr möglich ist. Also Sätze die das Auswahlaxiom verwenden sich anders gar nicht zeigen lassen.
Es macht einem ja auch immer etwas kaputt. Zum Beispiel das man eine solche Vereinigung nicht immer konstruieren kann.
Da fällt mir eine Randbemerkung aus der Analysis I ein, als wir das [mm] $\epsilon$-$\delta$-Kriterium [/mm] der Stetigkeit behandelt haben, die ich mir gemacht habe. Nämlich, dass wir dort auch das Auswahlaxiom an einer Stelle "stillschweigend" benutzt hatten.
Naja, ich schweife wohl ab... :)
> Du musst zeigen:
> 1. Zu jedem $ x [mm] \in \Omega [/mm] $ gibt es (mindestens) ein Atom A mit $ x [mm] \in [/mm] A $.
> 2. Ist A ein Atom und $ B [mm] \in \mathcal{F} [/mm] $, so gilt entweder $ A [mm] \cap [/mm] B = [mm] \emptyset [/mm] $ oder $ A [mm] \subseteq [/mm] B $.
Ich hatte innerhalb der Aufgabe vorher gezeigt, dass die Atome jeweils disjunkt sind.
2. ist ja eine ähnliche Aussage, wenn ich mich nicht vertue.
Also wenn [mm] $A\cap B=\emptyset$ [/mm] dann ist auch $B$ ein Atom und wenn $B$ kein Atom ist, dann gilt [mm] $A\subseteq [/mm] B$.
Angenommen [mm] $A\cup B\neq\emptyset$. [/mm] Dann existiert ein $a$ mit [mm] $a\in [/mm] A$ und [mm] $a\in [/mm] B$, also [mm] $A\cap B=\{a\}$. [/mm]
Da [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] eine [mm] $\sigma$-Algebra [/mm] ist, ist dann auch [mm] ${a\}\in\mathcal{F}$. [/mm] Also [mm] $\emptyset\neq \{a\}\subset [/mm] A$ im Widerspruch dazu, dass $A$ ein Atom ist.
> Damit man die Wahl dieser abzählbar vielen Mengen eindeutig (ohne Auswahlaxiom / Zornsches Lemma) machen kann muss man ein wenig argumentieren, aber schwer ist das auch nicht.
Leider fällt mir kein passendes Argument ein.
Ist es an dieser Stelle nun so, dass man es sich "einfach" macht indem man hier diese Mengen einfach passend mit dem Auswahlaxiom wählt, aber man eben hier auch mit einer genaueren Argumentation auf das Auswahlaxiom verzichten kann?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:51 Sa 29.08.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo impliziteFunktion!
Vorweg: Die Definition eines Atoms ist wohl so gemeint, dass $A$ nur dann ein Atom von [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] sein kann, wenn [mm] $A\in\mathcal{F}$ [/mm] gilt. Das hat der Urheber der Definition wohl vergessen zu erwähnen.
> Eins finde ich jedoch ein wenig "verwirrend".
> Ich halte das Auswahlaxiom für ein recht schweres
> Geschütz und ich habe immer das Gefühl, dass man es nur
> benutzt wenn es anders gar nicht mehr möglich ist. Also
> Sätze die das Auswahlaxiom verwenden sich anders gar nicht
> zeigen lassen.
Diese Philosophie, auf das Auswahlaxiom möglichst zu verzichten, mag durchaus verbreitet sein.
Andererseits kann es (vermutlich) manchmal einen Beweis deutlich verlängern, wenn man das Auswahlaxiom vermeidet.
> Es macht einem ja auch immer etwas kaputt. Zum Beispiel
> das man eine solche Vereinigung nicht immer konstruieren
> kann.
Das stimmt. Aber auch Beweise ohne Auswahlaxiom sind nicht immer "konstruktiv".
> Da fällt mir eine Randbemerkung aus der Analysis I ein,
> als wir das [mm]\epsilon[/mm]-[mm]\delta[/mm]-Kriterium der Stetigkeit
> behandelt haben, die ich mir gemacht habe. Nämlich, dass
> wir dort auch das Auswahlaxiom an einer Stelle
> "stillschweigend" benutzt hatten.
Auch diese "Philosophie", das Auswahlaxiom stillschweigend zu verwenden, ist durchaus verbreitet.
> > Du musst zeigen: [...]
> > 2. Ist A ein Atom und [mm]B \in \mathcal{F} [/mm], so gilt entweder
> [mm]A \cap B = \emptyset[/mm] oder [mm]A \subseteq B [/mm]. [...]
> Also wenn [mm]A\cap B=\emptyset[/mm] dann ist auch [mm]B[/mm] ein Atom
Im Allgemeinen nein.
> und
> wenn [mm]B[/mm] kein Atom ist, dann gilt [mm]A\subseteq B[/mm].
Im Allgemeinen nein.
> Angenommen [mm]A\cup B\neq\emptyset[/mm].
(Du meinst bestimmt [mm] $A\cap [/mm] B$ anstelle von [mm] $A\cup [/mm] B$.)
Zu zeigen ist dann: [mm] $A\subseteq [/mm] B$.
> Dann existiert ein [mm]a[/mm] mit
> [mm]a\in A[/mm] und [mm]a\in B[/mm],
Ja.
> also [mm]A\cap B=\{a\}[/mm].
Im Allgemeinen nein.
> Da [mm]\mathcal{F}[/mm] eine [mm]\sigma[/mm]-Algebra ist, ist dann auch
> [mm]{a\}\in\mathcal{F}[/mm].
Folgerichtig.
> Also [mm]\emptyset\neq \{a\}\subset A[/mm]
Im Allgemeinen gilt zwar [mm] $\{a\}\subseteq [/mm] A$, aber nicht notwendigerweise [mm] $\{a\}\subset [/mm] A$ (im Sinne einer ECHTEN Teilmenge).
> im
> Widerspruch dazu, dass [mm]A[/mm] ein Atom ist.
Folgerichtig.
Sei also $A$ ein Atom von [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] und [mm] $B\in\mathcal{F}$.
[/mm]
Zu zeigen ist: [mm] $A\cap B=\emptyset$ [/mm] oder [mm] $A\subseteq [/mm] B$.
Falls [mm] $A\subseteq [/mm] B$, ist nichts mehr zu zeigen.
Anderenfalls existiert ein [mm] $a\in [/mm] A$ mit [mm] $a\notin [/mm] B$.
Wir zeigen [mm] $A\cap B\subset [/mm] A$:
[mm] $A\cap B\subseteq [/mm] A$ gilt sowieso für alle Mengen $A$ und $B$.
Wegen [mm] $a\notin [/mm] B$ gilt [mm] $a\notin A\cap [/mm] B$, aber es war ja [mm] $a\in [/mm] A$. Also kann nicht [mm] $A\cap [/mm] B=A$ gelten.
Damit ist [mm] $A\cap B\subset [/mm] A$ gezeigt.
Wie du richtig argumentiert hast, gilt [mm] $A\cap B\in\mathcal{F}$, [/mm] da [mm] $A,B\in\mathcal{F}$ [/mm] und [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] eine Sigma-Algebra ist.
Da $A$ ein Atom ist, folgt wie gewünscht [mm] $A\cap B=\emptyset$.
[/mm]
> > Damit man die Wahl dieser abzählbar vielen Mengen
> eindeutig (ohne Auswahlaxiom / Zornsches Lemma) machen kann
> muss man ein wenig argumentieren, aber schwer ist das auch
> nicht.
>
> Leider fällt mir kein passendes Argument ein.
Mir auch nicht. Daher lasse ich die Frage als nur teilweise beantwortet markiert.
> Ist es an dieser Stelle nun so, dass man es sich "einfach"
> macht indem man hier diese Mengen einfach passend mit dem
> Auswahlaxiom wählt, aber man eben hier auch mit einer
> genaueren Argumentation auf das Auswahlaxiom verzichten
> kann?
Davon geht Felix bisher aus.
Grundsätzlich halte ich dies auch für eine denkbare Konstellation, glaube aber nicht, dass sie hier tatsächlich vorliegt.
Warten wir es ab, ob Felix die (vermeintliche?) Lücke schließen kann...
Viele Grüße
Tobias
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Hi,
ich wäre immer noch daran interessiert diese Aufgabe zu lösen.
Ich wollte mich dabei an den Ansätzen von Felixf halten, welche unter Anwendung des Auswahlaxioms doch funktionieren sollten?
> Du musst zeigen:
>
> 1. Zu jedem $ x [mm] \in \Omega [/mm] $ gibt es (mindestens) ein Atom A mit $ x [mm] \in [/mm] > A $.
>
> 2. Ist A ein Atom und $ B [mm] \in \mathcal{F} [/mm] $, so gilt entweder $ A [mm] \cap [/mm] B = > [mm] \emptyset [/mm] $ oder $ A [mm] \subseteq [/mm] B $.
2. ist mittlerweile klar.
Für 1. hatte Felixf geschrieben, dass ich
$ A := [mm] \bigcap_{B \in \mathcal{F} \atop x \in B} [/mm] B $ betrachten soll. Wobei man hier nun scheinbar doch das Auswahlaxiom benötigt.
Nun wäre ja erstmal zu klären, dass das eben definierte $A$ auch wirklich ein Atom ist.
Da der Schnitt über alle Mengen [mm] $B\in\mathcal{F}$ [/mm] gebildet wird, welche das Element $x$ enthalten und [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] eine Sigma-Algebra ist, müsste $A$ letztendlich ja nur die Einelementige Menge [mm] $\{x\}$ [/mm] sein. Denn in dem Schnitt taucht ja auch die Menge [mm] $\{x\}$ [/mm] auf.
Und das [mm] $\{x\}$ [/mm] ein Atom ist, ist klar.
Es ist wahrscheinlich aber nicht so einfach.
Ist es generell so, dass die Atome gerade die einelementigen Mengen sind, oder habt ihr ein Beispiel für eine Sigma-Algebra wo es ein Atom gibt, welches mehr als ein Element enthält?
Weiterhin kommt es mir so vor, als wäre es "einfacher" wenn man einfach das Auswahlaxiom direkt verwendet.
Wobei man das Auswahlaxiom an der Stelle benötigt, wo man die Mengen B wählt welche x als Element enthalten.
Denn wie man hier das Lemma von Zorn ins Spiel bringen soll ist mir weiterhin unklar, weil man dazu eben eine partielle Ordnung usw. benötigt und mir nicht klar ist wie die hier aussehen soll damit sie einem weiterhilft.
Über weitere Hilfe würde ich mich sehr freuen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:32 Fr 04.09.2015 | | Autor: | tobit09 |
> ich wäre immer noch daran interessiert diese Aufgabe zu
> lösen.
Super.
> Ich wollte mich dabei an den Ansätzen von Felixf halten,
> welche unter Anwendung des Auswahlaxioms doch funktionieren
> sollten?
So ist es.
> > Du musst zeigen:
> >
> > 1. Zu jedem [mm]x \in \Omega[/mm] gibt es (mindestens) ein Atom A
> mit [mm]x \in > A [/mm].
> >
> > 2. Ist A ein Atom und [mm]B \in \mathcal{F} [/mm], so gilt
> entweder [mm]A \cap B = > \emptyset[/mm] oder [mm]A \subseteq B [/mm].
>
> 2. ist mittlerweile klar.
>
> Für 1. hatte Felixf geschrieben, dass ich
>
> [mm]A := \bigcap_{B \in \mathcal{F} \atop x \in B} B[/mm] betrachten
> soll.
Ja.
> Wobei man hier nun scheinbar doch das Auswahlaxiom
> benötigt.
Nein, dafür benötigt man das Auswahlaxiom noch nicht.
Klar ist [mm] $x\in [/mm] A$ (warum?).
Zu zeigen ist nun noch, dass $A$ ein Atom von [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] ist, also dass gilt:
a) [mm] $A\in\mathcal{F}$
[/mm]
b) [mm] $A\not=\emptyset$
[/mm]
c) Für alle [mm] $B\in\mathcal{F}$ [/mm] mit [mm] $B\subsetneq [/mm] A$ gilt [mm] $B=\emptyset$.
[/mm]
Die Gültigkeit von b) folgt unmittelbar aus [mm] $x\in [/mm] A$.
Wenn man a) bereits gezeigt hat, lässt sich c) wie folgt zeigen:
Sei [mm] $B\in\mathcal{F}$ [/mm] mit [mm] $B\subsetneq [/mm] A$.
Zu zeigen ist [mm] $B=\emptyset$.
[/mm]
Es kann nicht [mm] $x\in [/mm] B$ gelten, denn sonst wäre [mm] $A\subseteq [/mm] B$ nach Definition von A, was [mm] $B\subsetneq [/mm] A$ widerspricht.
Also [mm] $x\in A\setminus [/mm] B=:C$.
Wegen [mm] $C\in\mathcal{F}$ [/mm] (hier geht a) ein) gilt somit [mm] $A\subseteq [/mm] C$ nach Definition von $A$.
Wäre nun [mm] $B\not=\emptyset$, [/mm] etwa [mm] $b\in [/mm] B$, so wäre wegen [mm] $B\subsetneq A\subseteq [/mm] C$ auch [mm] $b\in [/mm] C$ und somit [mm] $b\notin [/mm] B$ nach Definition von C im Widerspruch zu [mm] $b\in [/mm] B$.
Also tatsächlich [mm] $B=\emptyset$.
[/mm]
Damit ist c) aus a) gefolgert.
Bleibt a) zu zeigen.
Für jedes [mm] $y\in\Omega\setminus [/mm] A$ existiert nach Definition von $A$ wegen [mm] $y\notin [/mm] A$ ein [mm] $B\in\mathcal{F}$ [/mm] mit [mm] $x\in [/mm] B$ und [mm] $y\notin [/mm] B$.
Nun benötigen wir das Auswahlaxiom, um zu allen [mm] $y\in\Omega\setminus [/mm] A$ gleichzeitig eine Menge [mm] $B_y\in\mathcal{F}$ [/mm] mit [mm] $x\in B_y$ [/mm] und [mm] $y\notin B_y$ [/mm] auszuwählen.
Zeige nun
[mm] $A=\Omega\cap\bigcap_{y\in\Omega\setminus A}B_y$,
[/mm]
indem du beide Inklusionen [mm] "$\subseteq$" [/mm] und [mm] "$\supseteq$" [/mm] nacheinander verifizierst.
Da mit [mm] $\Omega$ [/mm] auch [mm] $\Omega\setminus [/mm] A$ abzählbar ist, folgt wie gewünscht [mm] $A\in\mathcal{F}$.
[/mm]
> Nun wäre ja erstmal zu klären, dass das eben definierte [mm]A[/mm]
> auch wirklich ein Atom ist.
Genau. Dazu dienten a), b) und c).
> Da der Schnitt über alle Mengen [mm]B\in\mathcal{F}[/mm] gebildet
> wird, welche das Element [mm]x[/mm] enthalten und [mm]\mathcal{F}[/mm] eine
> Sigma-Algebra ist,
Bis dahin stimmt es.
> müsste [mm]A[/mm] letztendlich ja nur die
> Einelementige Menge [mm]\{x\}[/mm] sein.
Nein.
> Denn in dem Schnitt taucht
> ja auch die Menge [mm]\{x\}[/mm] auf.
Das stimmt nur, wenn [mm] $\{x\}\in\mathcal{F}$ [/mm] gilt.
> Und das [mm]\{x\}[/mm] ein Atom ist, ist klar.
Nur im Falle [mm] $\{x\}\in\mathcal{F}$.
[/mm]
> Ist es generell so, dass die Atome gerade die
> einelementigen Mengen sind, oder habt ihr ein Beispiel für
> eine Sigma-Algebra wo es ein Atom gibt, welches mehr als
> ein Element enthält?
Ja. Betrachte eine beliebige Menge [mm] $\Omega$ [/mm] mit mehr als einem Element und die triviale Sigma-Algebra [mm] $\mathcal{F}=\{\Omega,\emptyset\}$ [/mm] darauf.
Dann ist [mm] $\Omega$ [/mm] ein Atom von [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] (warum?).
> Weiterhin kommt es mir so vor, als wäre es "einfacher"
> wenn man einfach das Auswahlaxiom direkt verwendet.
Zumindest bei der von Felix' vorgeschlagenen Vorgehensweise nutzt man das Auswahlaxiom direkt und nicht das Lemma von Zorn.
Einen sinnvollen Beweis mithilfe des Lemmas von Zorn habe ich mir noch nicht überlegt.
> Wobei man das Auswahlaxiom an der Stelle benötigt, wo man
> die Mengen B wählt welche x als Element enthalten.
Nein, für die Betrachtung aller [mm] $B\in\mathcal{F}$ [/mm] mit [mm] $x\in [/mm] B$ ist keine Anwendung des Auswahlaxioms nötig.
> Denn wie man hier das Lemma von Zorn ins Spiel bringen
> soll ist mir weiterhin unklar, weil man dazu eben eine
> partielle Ordnung usw. benötigt und mir nicht klar ist wie
> die hier aussehen soll damit sie einem weiterhilft.
Falls ich einen sinnvollen Lemma-von-Zorn-Beweis finde, melde ich mich nocheinmal.
Bis dahin lasse ich die Frage deshalb als nur teilweise beantwortet markiert.
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> Klar ist $ [mm] x\in [/mm] A $ (warum?).
Weil A ja gerade als Schnitt aller Mengen von [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] definiert ist, welche x als Element enthalten. Also ist x auch ein Element von A.
> Zu zeigen ist nun noch, dass A ein Atom von $ [mm] \mathcal{F} [/mm] $ ist, also dass gilt:
> a) $ [mm] A\in\mathcal{F} [/mm] $
Ich hätte gedacht, dass [mm] $A\in\mathcal{F}$ [/mm] gilt, weil [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] eine Sigma-Algebra ist und der Schnitt von Mengen in der Sigma-Algebra (es ist ja [mm] $B\in\mathcal{F}$) [/mm] wieder ein Element der Sigma-Algebra ist.
Zu deinem Beweis von c) hätte ich eine Frage:
> Wegen $ [mm] C\in\mathcal{F} [/mm] $ (hier geht a) ein) gilt somit $ [mm] A\subseteq [/mm] C $ > nach Definition von A.
Mir ist nicht ganz klar, wieso aus der Definition von A und [mm] C\in\mathcal{F} [/mm] bereits folgt, dass [mm] $A\subseteq [/mm] C$.
Liegt es daran, dass [mm] $A=C\cup [/mm] B$. Weil [mm] $B\subset [/mm] A$ ist dann [mm] $A\subseteq [/mm] C$.
> b) $ [mm] A\not=\emptyset [/mm] $
Ist klar, weil [mm] $x\in [/mm] A$. Das hattest du ja auch schon geschrieben.
> Bleibt a) zu zeigen.
> Für jedes $ [mm] y\in\Omega\setminus [/mm] A $ existiert nach Definition von A wegen $ [mm] y\notin [/mm] A $ ein $ [mm] B\in\mathcal{F} [/mm] $ mit $ [mm] x\in [/mm] B $ und $ [mm] y\notin [/mm] B $.
> Nun benötigen wir das Auswahlaxiom, um zu allen $ [mm] y\in\Omega\setminus [/mm] A $ gleichzeitig eine Menge $ [mm] B_y\in\mathcal{F} [/mm] $ mit $ [mm] x\in B_y [/mm] $ und $ > [mm] y\notin B_y [/mm] $ auszuwählen.
>
> Zeige nun
>
> $ [mm] A=\Omega\cap\bigcap_{y\in\Omega\setminus A}B_y [/mm] $,
>
> indem du beide Inklusionen "$ [mm] \subseteq [/mm] $" und "$ [mm] \supseteq [/mm] $" nacheinander verifizierst.
>
> Da mit $ [mm] \Omega [/mm] $ auch $ [mm] \Omega\setminus [/mm] A $ abzählbar ist, folgt wie gewünscht $ [mm] A\in\mathcal{F} [/mm] $.
Ich möchte als erstes die [mm] "$\subseteq$"-Richtung [/mm] probieren.
Sei also [mm] $x\in [/mm] A$ beliebig.
Zeigen muss ich, dass [mm] $x\in \Omega\cap\bigcap_{y\in\Omega\setminus A} B_y$.
[/mm]
Da [mm] $x\in [/mm] A$ ist [mm] $x\in\Omega$. [/mm] Ich muss also noch zeigen, dass $x$ auch ein Element von [mm] $\bigcap_{y\in\Omega\setminus A} B_y$
[/mm]
Wir hatten die [mm] $B_y$ [/mm] mithilfe des Auswahlaxiomes so gewählt, dass für alle [mm] $y\in\Omega\setminus [/mm] A$ die Menge [mm] $B_y$ [/mm] x enthalten und y nicht enthalten.
Es ist also [mm] $x\in B_y$ [/mm] für alle [mm] $y\in\Omega\setminus [/mm] A$.
Also ist [mm] $x\in\bigcap_{y\in\Omega\setminus A} B_y$ [/mm] und insgesamt
[mm] $x\in\Omega\cap\bigcap_{y\in\Omega\setminus A} B_y$
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:07 Mo 07.09.2015 | | Autor: | tobit09 |
> > Klar ist [mm]x\in A[/mm] (warum?).
>
> Weil A ja gerade als Schnitt aller Mengen von [mm]\mathcal{F}[/mm]
> definiert ist, welche x als Element enthalten. Also ist x
> auch ein Element von A.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> > Zu zeigen ist nun noch, dass A ein Atom von [mm]\mathcal{F}[/mm]
> ist, also dass gilt:
> > a) [mm]A\in\mathcal{F}[/mm]
>
> Ich hätte gedacht, dass [mm]A\in\mathcal{F}[/mm] gilt, weil
> [mm]\mathcal{F}[/mm] eine Sigma-Algebra ist und der Schnitt von
> Mengen in der Sigma-Algebra (es ist ja [mm]B\in\mathcal{F}[/mm])
> wieder ein Element der Sigma-Algebra ist.
Der Schnitt von ABZÄHLBAR VIELEN Mengen in einer Sigma-Algebra ist wieder ein Element der Sigma-Algebra.
(Genau genommen: Dazu sollte man [mm] $\bigcap_{i\in\emptyset}A_i:=\Omega$ [/mm] setzen.)
Es könnte aber überabzählbar viele [mm] $B\in\mathcal{F}$ [/mm] mit [mm] $x\in [/mm] B$ geben.
Um trotzdem die Abgeschlossenheit von [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] unter abzählbaren Schnitten anwenden zu können, hatte Felix die Beweisidee, A (anders als in der Definition von A) als abzählbaren Schnitt darzustellen.
> Zu deinem Beweis von c) hätte ich eine Frage:
>
> > Wegen [mm]C\in\mathcal{F}[/mm] (hier geht a) ein) gilt somit
> [mm]A\subseteq C[/mm] > nach Definition von A.
>
> Mir ist nicht ganz klar, wieso aus der Definition von A und
> [mm]C\in\mathcal{F}[/mm] bereits folgt, dass [mm]A\subseteq C[/mm].
Wichtig ist noch [mm] $x\in [/mm] C$ (was ich eine Zeile über der zitierten Zeile festgestellt hatte):
Wir haben [mm] $C\in\mathcal{F}$ [/mm] mit [mm] $x\in [/mm] C$. Also ist $C$ eine der Mengen, über die in der Definition von $A$ geschnitten wird. Nach dieser Definition gilt also für alle Elemente [mm] $\omega\in [/mm] A$ insbesondere [mm] $\omega\in [/mm] C$, d.h. [mm] $A\subseteq [/mm] C$.
> Liegt es daran, dass [mm]A=C\cup B[/mm].
Die Feststellung [mm] $A=C\cup [/mm] B$ stimmt.
> Weil [mm]B\subset A[/mm] ist dann
> [mm]A\subseteq C[/mm].
Dieser Schlussfolgerung kann ich nicht folgen.
> > Bleibt a) zu zeigen.
>
> > Für jedes [mm]y\in\Omega\setminus A[/mm] existiert nach Definition
> von A wegen [mm]y\notin A[/mm] ein [mm]B\in\mathcal{F}[/mm] mit [mm]x\in B[/mm] und
> [mm]y\notin B [/mm].
> > Nun benötigen wir das Auswahlaxiom, um zu allen
> [mm]y\in\Omega\setminus A[/mm] gleichzeitig eine Menge
> [mm]B_y\in\mathcal{F}[/mm] mit [mm]x\in B_y[/mm] und [mm]> y\notin B_y[/mm]
> auszuwählen.
> >
> > Zeige nun
> >
> > [mm]A=\Omega\cap\bigcap_{y\in\Omega\setminus A}B_y [/mm],
> >
> > indem du beide Inklusionen "[mm] \subseteq [/mm]" und "[mm] \supseteq [/mm]"
> nacheinander verifizierst.
> >
> > Da mit [mm]\Omega[/mm] auch [mm]\Omega\setminus A[/mm] abzählbar ist, folgt
> wie gewünscht [mm]A\in\mathcal{F} [/mm].
>
> Ich möchte als erstes die "[mm]\subseteq[/mm]"-Richtung probieren.
>
> Sei also [mm]x\in A[/mm] beliebig.
An sich ein guter Start.
Leider ist die Bezeichnung $x$ ja schon vergeben. Verwende also hier lieber z.B. [mm] $\omega$ [/mm] oder $z$ statt $x$. Ich schreibe gleich $z$ für das hier beliebig vorgegebene [mm] $x\in [/mm] A$ und verwende die Bezeichnung $x$ für das $x$, das z.B. in der Definition von $A$ auftaucht.
> Zeigen muss ich, dass [mm]x\in \Omega\cap\bigcap_{y\in\Omega\setminus A} B_y[/mm].
Genau.
> Da [mm]x\in A[/mm] ist [mm]x\in\Omega[/mm].
Genau genommen: Wegen [mm] $z\in [/mm] A$ gilt [mm] $z\in [/mm] B$ für alle [mm] $B\in\mathcal{F}$ [/mm] mit [mm] $x\in [/mm] B$.
Wenn es uns nun gelingt, ein [mm] $B\in\mathcal{F}$ [/mm] mit [mm] $x\in [/mm] B$ zu finden, können wir wie folgt argumentieren: Wegen [mm] $z\in B\subseteq\Omega$ [/mm] gilt wie gewünscht [mm] $z\in \Omega$.
[/mm]
Und ein [mm] $B\in\mathcal{F}$ [/mm] mit [mm] $x\in [/mm] B$ existiert tatsächlich auf alle Fälle: Zumindest [mm] $B:=\Omega$ [/mm] erfüllt [mm] $B\in\mathcal{F}$ [/mm] mit [mm] $x\in [/mm] B$.
> Ich muss also noch zeigen, dass [mm]x[/mm]
> auch ein Element von [mm]\bigcap_{y\in\Omega\setminus A} B_y[/mm]
Genau. (Wobei mit $x$ hier $z$ gemeint ist.)
> Wir hatten die [mm]B_y[/mm] mithilfe des Auswahlaxiomes so gewählt,
> dass für alle [mm]y\in\Omega\setminus A[/mm] die Menge [mm]B_y[/mm] x
> enthalten und y nicht enthalten.
Das stimmt, wenn $x$ hier wirklich $x$ und nicht $z$ bezeichnet.
> Es ist also [mm]x\in B_y[/mm] für alle [mm]y\in\Omega\setminus A[/mm].
Das stimmt, wenn $x$ hier wirklich $x$ und nicht $z$ bezeichnet. Wir benötigen aber [mm] $z\in B_y$ [/mm] für alle [mm] $y\in\Omega\setminus [/mm] A$.
> Also ist [mm]x\in\bigcap_{y\in\Omega\setminus A} B_y[/mm] und
> insgesamt
>
> [mm]x\in\Omega\cap\bigcap_{y\in\Omega\setminus A} B_y[/mm]
Folgerichtig.
Abgesehen vom Fehler mit der doppelten Verwendung der Bezeichnung $x$ ist dein Beweis-Versuch sehr schön aufgeschrieben. Du hast genau erkannt, was zu tun ist.
Deine Lücke lässt sich folgendermaßen schließen:
Sei [mm] $y\in\Omega\setminus [/mm] A$. Wir müssen [mm] $z\in B_y$ [/mm] zeigen.
Wegen [mm] $z\in [/mm] A$ gilt [mm] $z\in [/mm] B$ für alle [mm] $B\in\mathcal{F}$ [/mm] mit [mm] $x\in [/mm] B$.
Nach Wahl von [mm] $B_y$ [/mm] gilt [mm] $B_y\in\mathcal{F}$ [/mm] mit [mm] $x\in B_y$.
[/mm]
Also tatsächlich [mm] $z\in B_y$.
[/mm]
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Ja, die Bezeichnung des x (bzw. jetzt z) war etwas, wo ich mir unsicher war, ob ich einen anderen Bezeichner wählen muss.
Die [mm] "$\supseteq$"-Richtung [/mm] erweist sich als problematisch...
Sei [mm] $z\in \Omega\cap\bigcap_{y\in\Omega\setminus A} B_y$ [/mm] beliebig.
Zeigen möchte ich, dass [mm] $z\in [/mm] A$ gilt.
Was mir in die Quere kommt, ist, dass [mm] $A\subset [/mm] B$ gilt.
Es gelingt mir nicht dies zu umgehen um aus [mm] $z\in B_y$ [/mm] und [mm] $z\in\Omega$ [/mm] zu folgern, dass [mm] $z\in [/mm] A$.
Ich kann die [mm] "$\subseteq$"-Richtung [/mm] ja nicht einfach zurückverfolgen...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:29 Di 08.09.2015 | | Autor: | tobit09 |
> Die "[mm]\supseteq[/mm]"-Richtung erweist sich als problematisch...
>
> Sei [mm]z\in \Omega\cap\bigcap_{y\in\Omega\setminus A} B_y[/mm]
> beliebig.
> Zeigen möchte ich, dass [mm]z\in A[/mm] gilt.
> Was mir in die Quere kommt, ist, dass [mm]A\subset B[/mm] gilt.
> Es gelingt mir nicht dies zu umgehen um aus [mm]z\in B_y[/mm] und
> [mm]z\in\Omega[/mm] zu folgern, dass [mm]z\in A[/mm].
Du benötigst ein passendes [mm] $y\in\Omega\setminus [/mm] A$, für das du [mm] $z\in B_y$ [/mm] ausnutzt.
Angenommen [mm] $z\notin [/mm] A$.
Zu zeigen ist ein Widerspruch.
Wegen [mm] $z\in\Omega$ [/mm] und [mm] $z\notin [/mm] A$ gilt [mm] $z\in\Omega\setminus [/mm] A$.
Wegen [mm] $z\in\bigcap_{y\in\Omega\setminus A}B_y$ [/mm] folgt [mm] $z\in B_z$.
[/mm]
Dies widerspricht der Wahl von [mm] $B_z$.
[/mm]
Als geeignetes [mm] $y\in\Omega\setminus [/mm] A$, für das wir [mm] $z\in B_y$ [/mm] ausnutzen konnten, hat sich also (unter der Widerspruchsannahme [mm] $z\notin [/mm] A$) $y:=z$ herausgestellt.
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Ja, der Ansatz über den Widerspruchsbeweis ist völlig klar.
Ok, nun haben wir also nachgewiesen, dass A auch tatsächlich ein Atom ist, welches x als Element enthält.
Außerdem hatten wir gezeigt, dass ein Element x nur in einem Atom enthalten sein kann.
Also können wir nun [mm] $B\subseteq \Omega$ [/mm] als abzählbare Vereinigung darstellen durch
[mm] $B:=\bigcup_{x\in B} A_x$
[/mm]
Wobei [mm] $A_x$ [/mm] das Atom ist, welches x enthält.
Ich hätte noch eine Frage zum Auswahlaxiom.
Denn hier verwenden wir es ja im Grunde auf zweiweisen.
Wir wählen ja nicht bloß Mengen die ein bestimmtes Element enthalten. Sondern auch ein Element nicht enthalten.
Eben die [mm] $B_y$ [/mm] mit [mm] $x\in B_y$ [/mm] und [mm] $y\notin B_y$.
[/mm]
Warum können wir dies so machen?
Besagt das Auswahlaxiom nicht, dass ich (auch aus einer überabzählbaren Anzahl von Mengen) aus jeder Menge ein bestimmtes Element auswählen kann.
Wieso ist sichergestellt, dass solche Mengen der Bauart [mm] $B_y$ [/mm] existieren und mit dem Auswahlaxiom gewählt werden können.
Eine etwas schwammige Frage, die man wahrscheinlich nicht gänzlich beantworten kann wäre, was die Grenzen des Auswahlaxioms sind.
Was kann man etwa mit dem Auswahlaxiom nicht auswählen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:34 Mi 09.09.2015 | | Autor: | tobit09 |
> Ok, nun haben wir also nachgewiesen, dass A auch
> tatsächlich ein Atom ist, welches x als Element enthält.
> Außerdem hatten wir gezeigt, dass ein Element x nur in
> einem Atom enthalten sein kann.
>
> Also können wir nun [mm]B\subseteq \Omega[/mm] als abzählbare
> Vereinigung darstellen durch
>
> [mm]B:=\bigcup_{x\in B} A_x[/mm]
(Es muss = statt := heißen.)
> Wobei [mm]A_x[/mm] das Atom ist, welches x enthält.
Dass tatsächlich [mm] $A_x\subseteq [/mm] B$ für alle [mm] $x\in [/mm] B$ gilt, folgt aus der von Felix mit 2. bezeichneten Aussage.
> Ich hätte noch eine Frage zum Auswahlaxiom.
> Denn hier verwenden wir es ja im Grunde auf zweiweisen.
> Wir wählen ja nicht bloß Mengen die ein bestimmtes
> Element enthalten. Sondern auch ein Element nicht
> enthalten.
> Eben die [mm]B_y[/mm] mit [mm]x\in B_y[/mm] und [mm]y\notin B_y[/mm].
> Warum können
> wir dies so machen?
> Besagt das Auswahlaxiom nicht, dass ich (auch aus einer
> überabzählbaren Anzahl von Mengen) aus jeder Menge ein
> bestimmtes Element auswählen kann.
> Wieso ist sichergestellt, dass solche Mengen der Bauart
> [mm]B_y[/mm] existieren und mit dem Auswahlaxiom gewählt werden
> können.
Das Auswahlaxiom kann man wie folgt formulieren:
Sei $I$ eine Menge und [mm] $(M_i)_{i\in I}$ [/mm] eine Familie von Mengen.
Für jedes [mm] $i\in [/mm] I$ existiere ein Element [mm] $x\in M_i$.
[/mm]
Dann existiert eine Familie [mm] $(x_i)_{i\in I}$ [/mm] mit [mm] $x_i\in M_i$ [/mm] für alle [mm] $i\in [/mm] I$.
Wir wenden diese Formulierung des Auswahlaxioms in der Aufgabe an auf
[mm] $I:=\Omega\setminus [/mm] A$
und
[mm] $M_y:=\{B\in\mathcal{F}\;|\;x\in B,y\notin B\}$
[/mm]
für alle [mm] $y\in [/mm] I$.
> Eine etwas schwammige Frage, die man wahrscheinlich nicht
> gänzlich beantworten kann wäre, was die Grenzen des
> Auswahlaxioms sind.
> Was kann man etwa mit dem Auswahlaxiom nicht auswählen?
Wenn eine Familie [mm] $(M_i)_{i\in I}$ [/mm] von Mengen die leere Menge enthält, also etwa [mm] $M_{i_0}=\emptyset$ [/mm] gilt für ein [mm] $i_0\in [/mm] I$, dann gibt es natürlich keine Familie [mm] $(x_i)_{i\in I}$ [/mm] mit [mm] $x_i\in M_i$ [/mm] für alle [mm] $i\in [/mm] I$ (denn dann wäre [mm] $x_{i_0}\in M_{i_0}=\emptyset$).
[/mm]
(Grob gesagt: "Wo nichts ist, kann man auch nichts auswählen.")
(Es geht auch bei dem Auswahlaxiom weniger um einzelne Auswahlen, als vielmehr um simultane Auswahlen aus möglicherweise unendlich vielen nichtleeren Mengen.)
(Eine andere Grenze des Auswahlaxioms besteht in der Mengeneigenschaft der Indexmenge $I$.
Wenn man eine Mengenlehre zugrunde legt, die neben Mengen auch Klassen als Objekte betrachtet, so lässt man beim gewöhnlichen Auswahlaxiom nur Mengen und keine echten Klassen als Indexmengen zu.
In der Verschärfung "Global Choice" (ich kenne keinen deutschen Namen dafür) des gewöhnlichen Auswahlaxioms lässt man hingegen auch Klassen als Indexmengen zu.)
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Dann wäre dieser Beweis beendet.
Ich bedanke mich vielmals bei allen beteiligten für die Hilfe.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 05:04 So 06.09.2015 | | Autor: | tobit09 |
> Denn wie man hier das Lemma von Zorn ins Spiel bringen
> soll ist mir weiterhin unklar, weil man dazu eben eine
> partielle Ordnung usw. benötigt und mir nicht klar ist wie
> die hier aussehen soll damit sie einem weiterhilft.
Einen sinnvollen Beweis mit dem Lemma von Zorn habe ich leider nicht gefunden.
Ein Ansatz von mir sah wie folgt aus (vielleicht kann ihn ja jemand retten):
Sei [mm] $C\in\mathcal{F}$. [/mm] Wir wollen $C$ als abzählbare Vereinigung von Atomen bezüglich [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] darstellen.
Eine Äquivalenzrelation $R$ auf $C$ heiße [mm] $\mathcal{F}$-adaptiert, [/mm] wenn für jedes [mm] $\omega\in [/mm] C$ die Äquivalenzklasse von [mm] $\omega$ [/mm] der Bedingung [mm] $[\omega]_R\in\mathcal{F}$ [/mm] genügt.
Sei $P$ die Menge der [mm] $\mathcal{F}$-adaptierten [/mm] Äquivalenzrelationen auf $C$.
Wir erhalten eine partielle Ordnung [mm] $\le$ [/mm] auf $P$ durch
[mm] $R_1\le R_2:\iff R_1\supseteq R_2$.
[/mm]
Angenommen wir finden (mittels Lemma von Zorn) ein bezüglich dieser Ordnung maximales Element [mm] $R\in [/mm] P$.
Dann ist
[mm] $C=\bigcup_{\omega\in C}[\omega]_R$
[/mm]
eine Darstellung von $C$ als abzählbare Vereinigung von Atomen bezüglich [mm] $\mathcal{F}$, [/mm] wie man sich überlegen kann.
Die Schwierigkeit besteht nun aber darin zu zeigen, dass jede Kette von [mm] $(P,\le)$ [/mm] eine obere Schranke in P besitzt.
Sei also [mm] $\mathcal{K}\subseteq [/mm] P$ eine Kette.
Falls [mm] $\mathcal{K}=\emptyset$ [/mm] gilt, ist [mm] $R:=C^2\in [/mm] P$ eine obere Schranke von [mm] $\mathcal{K}$ ($C^2$ [/mm] ist [mm] $\mathcal{F}$-adaptiert [/mm] wegen [mm] $C\in\mathcal{F}$).
[/mm]
Sei nun [mm] $\mathcal{K}\not=\emptyset$.
[/mm]
Naheliegender Kandidat für eine obere Schranke bezüglich [mm] $\le$ [/mm] ist dann die Äquivalenzrelation
[mm] $\overline{R}:=\bigcap_{R\in\mathcal{K}}R$
[/mm]
auf $C$.
Um zu verifizieren, dass tatsächlich [mm] $\overline{R}\in [/mm] P$ gilt, ist die [mm] $\mathcal{F}$-Adaptiertheit [/mm] von [mm] $\overline{R}$ [/mm] nachzuweisen.
Hierfür habe ich leider keinen sinnvollen Beweis gefunden.
(Wäre [mm] $\mathcal{K}$ [/mm] abzählbar wie von mir zunächst vermutet, wäre das kein Problem. Aber [mm] $\mathcal{K}$ [/mm] muss nicht abzählbar sein.)
(Zwar ließe sich Felix' Beweisidee, den Durchschnitt durch einen abzählbaren Durchschnitt zu ersetzen, hier übertragen, aber dann benötigten wir (erneut) das Auswahlaxiom und könnten besser gleich Felix' Beweis verwenden.)
Fazit: Die Konklusion des Lemmas von Zorn wäre nützlich, wenn denn die Voraussetzungen des Lemmas von Zorn sich sinnvoll nachweisen ließen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:48 Mo 07.09.2015 | | Autor: | tobit09 |
Mindestens eine Lösungsidee hast du ja inzwischen erhalten.
Ich möchte noch ein wenig auf deine Ansätze in der Ausgangsfrage eingehen. Vielleicht hilft dir das eine oder andere zukünftig weiter.
> Ich weiß, dass diese Aufgabe das Lemma von Zorn
> benötigt. Jedoch wäre ich da wahrscheinlich nicht drauf
> gekommen.
>
> Gibt es hier in der Aufgabenstellung einen "Hinweis", dass
> man wohl das Lemma von Zorn benötigen wird?
Ich sehe keinen naheliegenden Hinweis darauf.
> Oft benötigt man das Lemma ja, wenn man zeigen möchte,
> dass etwas maximales existiert.
> So etwas erkenne ich hier nicht unbedingt.
Ein Atom ist gewissermaßen ein "maximal kleines" nichtleeres Element von [mm] $\mathcal{F}$.
[/mm]
> Vielleicht, dass man mit einer maximalen Vereinigung von
> Atomen jedes beliebige Element aus [mm]\mathcal{F}[/mm] erzeugen
> kann?
Auch ein interessanter Ansatz.
Sei [mm] $C\in\mathcal{F}$. [/mm] Wir wollen $C$ als abzählbare Vereinigung von Atomen von [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] darstellen.
Wir betrachten die Menge $M$ aller Atome $A$ von [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] mit [mm] $A\subseteq [/mm] C$.
Sei nun $P$ die Menge aller abzählbaren Teilmengen von $M$.
Durch die Teilmengenbeziehung [mm] $\subseteq$ [/mm] erhalten wir eine partielle Ordnung [mm] $\le$ [/mm] auf $P$.
Mittels Lemma von Zorn lässt sich zeigen, dass [mm] $(P,\le)$ [/mm] ein maximales Element $p$ besitzt.
Die Schwierigkeit liegt nun darin zu zeigen, dass
[mm] $\bigcup_{A\in p}A=C$
[/mm]
gilt. Während die Inklusion [mm] "$\subseteq$" [/mm] einfach ist, ist [mm] "$\supseteq$" [/mm] schwierig.
Man kommt wohl nicht umhin, für jedes [mm] $\omega\in [/mm] C$ ein Atom [mm] $A_\omega$ [/mm] von [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] mit [mm] $\omega\in A_\omega$ [/mm] zu finden.
Doch wenn man das schafft, kann man gleich völlig ohne Lemma von Zorn die Darstellung
[mm] $C=\bigcup_{\omega\in C}A_\omega$
[/mm]
wählen.
> Das Lemma von Zorn lautet wie folgt:
>
> Sei [mm](P, \leq)[/mm] eine partiell geordnete Menge.
> Wenn jede Kette [mm]C\subseteq P[/mm] eine obere Schranke besitzt,
> dann gibt es in [mm]P[/mm] ein maximales Element.
>
> Der erste Schritt müsste es nun sein sich diese Ketten und
> eine partielle Ordnung zu überlegen?
Ja, zunächst wären $P$ und die partielle Ordnung [mm] $\le$ [/mm] zu wählen.
Dann wäre zu zeigen, dass jede Kette in [mm] $(P,\le)$ [/mm] eine obere Schranke besitzt.
Schließlich würde Zorn ein maximales Element von [mm] $(P,\le)$ [/mm] liefern und man müsste es gewinnbringend für den Beweis einsetzen.
> Mein erster Gedanke wäre einfach [mm]P=\mathcal{P}(\Omega)[/mm]
> (die Potenzmenge von [mm]\Omega[/mm]) und als partielle Ordnung die
> Teilmengeninklusion [mm]\subseteq[/mm] zu probieren.
Um zu sehen, dass diese partielle Ordnung ein maximales Element besitzt, braucht man gar nicht das Lemma von Zorn: [mm] $\Omega$ [/mm] ist ein maximales Element.
> Dann wäre [mm]P\in\mathcal{P}(\Omega)[/mm] ein maximales Element.
(Du verwendest hier $P$ in zwei verschiedenen Bedeutungen: einmal als [mm] $P:=\mathcal{P}(\Omega)$ [/mm] und einmal als maximales Element [mm] $P\in\mathcal{P}(\Omega)$.)
[/mm]
> Die Ketten [mm]C\subseteq\mathcal{P}(\Omega)[/mm] würden nun ja so
> aussehen, dass für alle [mm]X,Y\in C[/mm] entweder [mm]X\subseteq Y[/mm]
> oder [mm]Y\subseteq X[/mm] gilt.
Ja.
> Nun müsste man sich überlegen, weshalb jede Kette ein
> maximales Element enthält.
Nein, in der Voraussetzung des Lemmas von Zorn heißt es nicht, dass $C$ ein maximales Element enthalten soll, sondern dass $C$ eine obere Schranke in P besitzen soll.
In diesem (eher trivialen) Fall ist (unabhängig davon, wie $C$ genau aussieht) [mm] $\Omega$ [/mm] eine obere Schranke von $C$.
> Bisher sehe ich aber noch keinen Zusammenhang zur Aufgabe.
Ich bei diesem Ansatz leider auch nicht.
> Dort soll ich ja zeigen, dass ich jedes [mm]F\in\mathcal{F}[/mm]
> als abzählbare Vereinigung von Atomen darstellen kann.
> Wenn also [mm]A_1,\dotso, A_n[/mm] die Atome von [mm]\mathcal{F}[/mm] sind
> (die Atome sind jeweils paarweise disjunkt).
(Es wird ja im Allgemeinen nicht nur endlich viele Atome geben.)
> Und [mm]I[/mm] die
> Indexmenge, dann
>
> [mm]\bigcup_{i\in I} A_i=F[/mm]
>
> Ist hier irgendetwas brauchbares dabei?
Wenn die [mm] $A_i$, $i\in [/mm] I$, sämtliche Atome $A$ von [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] mit [mm] $A\subseteq [/mm] F$ darstellen, dann gilt tatsächlich
[mm]\bigcup_{i\in I} A_i=F[/mm].
Aber dafür muss man wieder beweisen, dass es zu jedem [mm] $\omega\in [/mm] F$ ein Atom $A$ von [mm] $\mathcal{F}$ [/mm] mit [mm] $\omega\in [/mm] A$ gibt.
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![[]](/images/popup.gif){kind=small}
Axiom of Countable Choice