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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:30 Mi 22.06.2005 | | Autor: | nicole77 |
Hallo! würde mich freuen wenn jemand diese aufgabe lösen kann.
Sei kn das Kapital auf einem Konto im Jahr n. Legt man einen jährlichen Zinssatz i zugrunde, so ist
[mm] K_{n}= K_{0} [/mm] · (1 + [mm] i)^{n}
[/mm]
Werden die Zinsen nicht jährlich, sondern jedes 1/m (mit m 2 N) Jahr gutgeschrieben und dann mitverzinst, gilt für das Kapital nach n Jahren mit je m Zinsperioden:
[mm] K_{n*m} [/mm] = [mm] K_{0}* [/mm] (1 + [mm] i/m)^{n*m} [/mm] ("unterjährige Verzinsung").
a) Hans legt 1000 Euro mit einem Zinssatz von 3,5% an. Die Zinsgutschrift erfolgt vierteljährlich. Wie viel bekommt Hans nach 10 Jahren?
(b) Brigitte hat ein Kapital k0 mit einem Zinssatz von 4% und halbjährlicher Zinsgutschrift angelegt und erhält nach 10 Jahren 1500 Euro. Wie viel hatte sie angelegt?
(c) Björn erhält die entstandenen Zinsen kontinuierlich gutgeschrieben und mitverzinst (sogenannte "stetige Verzinsung"). Leiten Sie aus der Formel für die unterjährige Verzinsung eine Formel für die stetige Verzinsung her.
Hinweis: Sie dürfen dazu ohne Beweis verwenden, dass gilt:
[mm] e^{x} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] (1 + [mm] x/n)^n
[/mm]
d) Björn legt 1000 Euro an. Erhält er bei einem Zinssatz von 3,5% mehr oder weniger als Hans? Warum?
ich bin leider restlos überfordert und freue mich über jede hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
lg nicole
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:46 Mi 22.06.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Nicole,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
> Hallo! würde mich freuen wenn jemand diese aufgabe lösen kann.
Das wird nicht unbedingt passieren mit dem "lösen" bzw. "vorrechnen"! Aber gemeinsam erarbeiten können wir das schon bzw. ich gebe Dir ein/zwei Tipps ...
Hast Du denn überhaupt keine eigenen Lösungsansätze? Das gehört nämlich zu unseren Forenregeln hier im MatheRaum ...
Für die beiden Aufgaben a.) und b.) hast Du doch die Formeln bereits selber angegeben.
Hier brauchst du doch "nur" noch einsetzen und evtl. die Gleichung umstellen ...
Aufgabe a.)
[mm] $K_{n*m} [/mm] \ = \ ??$
[mm] $K_0 [/mm] \ = \ 1000$
$i \ = \ [mm] \bruch{3,5}{100} [/mm] \ = \ 0,035$
"vierteljährlich" [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $m \ = \ 4$
$n \ = \ 10$
Damit wird doch:
[mm] $K_{10*4} [/mm] \ = \ 1000 * [mm] \left(1 + \bruch{0,035}{4}\right)^{10*4} [/mm] \ = \ ...$
Eintippen in den Taschenrechner ... fertig!
Aufgabe b.)
[mm] $K_{n*m} [/mm] \ = \ 1500$
[mm] $K_0 [/mm] \ = \ ??$
$i \ = \ [mm] \bruch{4}{100} [/mm] \ = \ 0,04$
"halbjährlich" [mm] $\Rightarrow$ [/mm] $m \ = \ 2$
$n \ = \ 10$
Damit wird doch:
$1500 \ = \ [mm] K_0 [/mm] * [mm] \left(1 + \bruch{0,04}{2}\right)^{10*2}$
[/mm]
Kannst Du das nun nach [mm] $K_0$ [/mm] umstellen?
Gruß
Loddar
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Die stetige Verzinsung ergibt sich aus dem vorgegebenen Zusammenhang erst einmal mit.
[mm] e^i [/mm] für ein Jahr, wenn i der Zins für ein Jahr ist. Ganz stimmt das aber noch nicht, da der Kapitalisierungsfaktor etwas zu hoch wäre. Wir müssen also den Kapitalisierungsfaktor 1,04 vorher mit ln() kalibrieren.
Also e^ln(1+i). Die Zeit fließt dann als Variable t als Anteil eines Jahres ein.
e^(ln(1+i)*t)
So richtig herleiten kann ich das nicht mehr - ist schon zu lange her...
Gruß
Markus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:09 Do 23.06.2005 | | Autor: | nicole77 |
vielen dank für eure tips.
ich habe extra meine eigene lösungs idee nicht hin geschrieben,weil ich (sollte meine idee falsch sein) keine falsche fährte locken wollte.
mein fehler allerdings, dass ich die forenregel nicht aufmerksam genug gelesen habe. kommt nicht wieder vor.
lg nicole
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:20 Do 23.06.2005 | | Autor: | Josef |
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> Sei kn das Kapital auf einem Konto im Jahr n. Legt man
> einen jährlichen Zinssatz i zugrunde, so ist
>
> [mm]K_{n}= K_{0}[/mm] · (1 + [mm]i)^{n}[/mm]
>
> Werden die Zinsen nicht jährlich, sondern jedes 1/m (mit m
> 2 N) Jahr gutgeschrieben und dann mitverzinst, gilt für das
> Kapital nach n Jahren mit je m Zinsperioden:
>
> [mm]K_{n*m}[/mm] = [mm]K_{0}*[/mm] (1 + [mm]i/m)^{n*m}[/mm] ("unterjährige
> Verzinsung").
>
> a) Hans legt 1000 Euro mit einem Zinssatz von 3,5% an. Die
> Zinsgutschrift erfolgt vierteljährlich. Wie viel bekommt
> Hans nach 10 Jahren?
>
> (b) Brigitte hat ein Kapital k0 mit einem Zinssatz von 4%
> und halbjährlicher Zinsgutschrift angelegt und erhält nach
> 10 Jahren 1500 Euro. Wie viel hatte sie angelegt?
>
> (c) Björn erhält die entstandenen Zinsen kontinuierlich
> gutgeschrieben und mitverzinst (sogenannte "stetige
> Verzinsung"). Leiten Sie aus der Formel für die
> unterjährige Verzinsung eine Formel für die stetige
> Verzinsung her.
>
> Hinweis: Sie dürfen dazu ohne Beweis verwenden, dass gilt:
>
> [mm]e^{x}[/mm] = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] (1 + [mm]x/n)^n[/mm]
>
> d) Björn legt 1000 Euro an. Erhält er bei einem Zinssatz
> von 3,5% mehr oder weniger als Hans? Warum?
>
Aufgabe d)
[mm] 1000*e^{0,035*10} [/mm] = 1.419,07
Björn erhält etwas mehr als Hans.
Bei der Verzinsung ist der Zuwachs immer proportional dem vorhandenen Grundbetrag. Bei einfacher Verzinsung bleibt der Grundbetrag immer der gleiche, daher ist der Zuwachs immer der gleiche. Bei Verzinsung in momentanen Zeiträumen dagegen wächst derselbe Grundbetrag bei gleichen Bedingungen in der gleichen Zeit auf das e-fache, auf rund 2,75 an. Bei diesem Vorgang erfolgt die Zunahme in jedem Augenblick und ist proportional dem augenblicklich vorhandenen Betrag.
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