Ziel der Normalformtheorie < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:23 Mo 04.06.2007 | | Autor: | AriR |
hey leute,
ganz zu beginn des Kapitels "Normalformtheorie" hat unser prof eine äquivalenzrelation zwischen matritzen aufgestellt und zwar waren 2 matritzen äquivalent genau dann wenn diese ähnlich zueinander sind. Dann hat er weiterhin gesagt, dass das ziel des kapitels sei, alle äquivalenzklassen vollständig zu beschreiben, aber irgendwie kam mir das ziel des kapitel mehr so vor, zu einer gegeben darst. Matrix eine zu ihr ähnliche Matrix zu finden, die von sehr einfacher form ist, also mit der man leicht rechnen kann(diag. Matrix, triagonal Matrix usw)
sieht vielleicht jemand von euch den zusammenhang hier zu der beschreibung der äquivalenzklassen?
für micht sieht das eher so aus, als ob jede darst. Matrix in einer dieser äq.Klassen ist und man in dieser äq. Klasse nach einer "schönen" ähnlichen Matrix sucht.
wäre echt super, wenn das hier jemand von euch etwas verdeutlichen könnte :)
Gruß Ari ;)
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Hiho,
Äquivalenzklassen haben die schöne Eigenschaft, daß sie bereits durch ein Element eindeutig beschrieben sind.
Wenn du nun also eine recht einfache Matrix finden kannst, die in dieser Äquivalenzklasse liegt, kannst du diese Klasse durch die einfachere Matrix beschreiben.
Als Beispiel mal die Äquivalenzrelation:
[mm]A \sim B \gdw A = \lambda * B[/mm]
Jetzt suchen wir alle Matrizzen, die in der Äquivalenzklasse zu
[mm]A = \pmat{ \sqrt{\pi * e + 2,5} & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{\pi * e + 2,5} & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{\pi * e + 2,5} } [/mm]
Wie man leicht erkennt, gilt:
[mm]\pmat{ \sqrt{\pi * e + 2,5} & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{\pi * e + 2,5} & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{\pi * e + 2,5} } \sim \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 } [/mm], d.h. die Äquivalenzklasse zu A ist gleich der Äquivalenzklasse zur Einheitsmatrix, in Formeln:
[mm][\pmat{ \sqrt{\pi * e + 2,5} & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{\pi * e + 2,5} & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{\pi * e + 2,5} }]= [\pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 }][/mm].
So lässt sich die Äquivalenzklasse viel einfacher vorstellen, weil es eben alle Matrizzen sind, die sich von der Einheitsmatrix nur um einen Faktor [mm] \lambda [/mm] unterscheiden.
Daher macht es oft Sinn, eine einfachere Matrix zu suchen, die ebenfalls in der Äquivalenzklasse liegt.
MfG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:42 Mo 04.06.2007 | | Autor: | AriR |
hey,
danke schonmal für deine antwort!
ich denke das habe ich soweit verstanden, aber das ist doch eigentlich nicht das wirkliche hauptziel der normalformtheorie oder?
wir haben eine matrix aus eine äq.klasse und suchen eine weiter aus der von der "schönsten" form (nach möglichkeit diag. wenn das nicht geht triag. usw)
wie die anderen matritzen aus der äq.klasse aussehen ist doch dann völlig egal oder nicht?
und vielleicht noch ne kleine frage und zwar überlege ich die ganze zeit, aber ich komme nicht auf die transformationsmatrix T, so das T^-1*A*T=E gilt
kannst die vielleicht mal jemand von euhc mit angeben +g+
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> hey,
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> danke schonmal für deine antwort!
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> ich denke das habe ich soweit verstanden, aber das ist doch
> eigentlich nicht das wirkliche hauptziel der
> normalformtheorie oder?
>
> wir haben eine matrix aus eine äq.klasse und suchen eine
> weiter aus der von der "schönsten" form (nach möglichkeit
> diag. wenn das nicht geht triag. usw)
Hallo,
genau so kann man das Ziel beschreiben:
finde die schönste Form.
Die schönste: das ist hier die einfachste, die übersichtlichste, die, die auf eine Blick die meisten Informationen über die Abbildung liefert.
Beim Diagonalisieren sieht man das doch sehr gut: man hat zunächst eine Matrix, und keine Ahnung davon, was das für eine Abbildung ist.
Die zu dieser Matrix ähnliche Diagonalmatrix liefert diese Information auf einen Blick.
>
> wie die anderen matritzen aus der äq.klasse aussehen ist
> doch dann völlig egal oder nicht?
Ja. Wenn man weiß, daß sie äquivalent zu einer schönen übersichtlichen Form sind, rechnet man doch lieber damit.
Man tut ja nichts anderes, als ein anderes Koordinatensystem zu wählen, ein Koordinatensystem, welches zu der Abbildung besser paßt.
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>
> und vielleicht noch ne kleine frage und zwar überlege ich
> die ganze zeit, aber ich komme nicht auf die
> transformationsmatrix T, so das T^-1*A*T=E gilt
Ich fürchte, daß das nicht klappt...
A und E sind nicht ähnlich.
Gruß v. Angela
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