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| Aufgabe | Polynome [mm] x^n-1 [/mm] weiter zerlegt
Wir verwenden die Abkürzung
[mm] g_{n}(x)= 1+x+x^2+x^3+...+x^{n-1} [/mm] (also n Summanden, daher der Index n)
Beweisen Sie: Falls n0pq (p,q>=2), dann ist [mm] g_{n}(x) [/mm] in [mm] \IQ[x] [/mm] zerlegbar
Hinweis 1: Betrachten Sie [mm] x^p [/mm] als "neue" Variable
Hinweis 2: Verwenden Sie AUfgabe 2 [Anmerkung: in dieser Aufgabe wurde bewiesen, dass [mm] x^n [/mm] -1 = [mm] (x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+...+x^2+x+1
[/mm]
Hinweis 3: Erinnern SIe sich an die Arithmetik: Dort hatten wir einmal in einer Übungsaufgabe Zahken des Typs [mm] (111...11)_{g} [/mm] auf Teilbarkeit untersucht. Zusammenhang jetzt? |
Ich komme mit dieser Aufgabe nicht weiter. (Der Beweis für die genannte Aufgabe 2 war kein Problem)
Ich kann mit keinem der Hinweise was anfangen, habe mit allen und allem herumprobiert.
Ich weiß, dass ich das [mm] g_{n}(x) [/mm] weiter zerlegen kann, wenn n gerade ist. Dann lässt es sich in [mm] (x+1)(1+x^2+...+x^{n-2}) [/mm] zerlegen.
Aber das hilft mir ja auch nicht weiter.
Der erste Fall der nicht durch 2 teilbar aber in pq zerlegbar wäre n=9 (=3*3)
Also [mm] x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1
[/mm]
Erst dachte ich, es ginge gar nicht: Ich weiß nur, wie man guckt, ob man ein Polynom in lineare Faktoren zerlegen kann. Kann man hier nicht.
Aber das bedeutet ja nicht zwingend, dass es gar nicht zerlegbar ist?
Dann habe ich- in Anlehnung an Hinweis 3- mal probiert das Polynom in 3er-Blöcke aufzuteilen. Hilft mir aber auch nicht.
Der Hinweis zur Arithmetik: Da gab es eine Aufgabe, in der gepüft werden sollte, ob 111111111 durch 3 teilbar ist. Dafür unterteilte man 111 111 111 und teile dann jeweils 111 durch 3.
Naja, ich habe nun viel herumprobiert und mir gehen die Ideen aus.
Einen Hinweis gab es noch in einer Übung, der hilft mir aber auch nicht, weil ich ja gar nicht mit [mm] x^n-1
[/mm]
[mm] x^n-1 [/mm] = [mm] x^{pq}-1 =(x^p)^q [/mm] -1 mit [mm] x^p=y [/mm] ; [mm] y^q-1.
[/mm]
Ich hab auch schon versucht wieder mit (x-1) zu multiplizieren..Ich dreh mich im Kreis
Also, Hauptproblem: wie stelle ich fest, ob ich ein Polynom durch irgendwas nicht lineares teilen kann?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:04 Fr 22.06.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo pinguinfreundin!
> Polynome [mm]x^n-1[/mm] weiter zerlegt
> Wir verwenden die Abkürzung
> [mm]g_{n}(x)= 1+x+x^2+x^3+...+x^{n-1}[/mm] (also n Summanden, daher
> der Index n)
>
> Beweisen Sie: Falls n0pq (p,q>=2), dann ist [mm]g_{n}(x)[/mm] in
> [mm]\IQ[x][/mm] zerlegbar
>
> Hinweis 1: Betrachten Sie [mm]x^p[/mm] als "neue" Variable
> Hinweis 2: Verwenden Sie AUfgabe 2 [Anmerkung: in dieser
> Aufgabe wurde bewiesen, dass [mm]x^n[/mm] -1 =
> [mm](x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+...+x^2+x+1[/mm]
> Hinweis 3: Erinnern SIe sich an die Arithmetik: Dort
> hatten wir einmal in einer Übungsaufgabe Zahken des Typs
> [mm](111...11)_{g}[/mm] auf Teilbarkeit untersucht. Zusammenhang
> jetzt?
>
> Ich komme mit dieser Aufgabe nicht weiter. (Der Beweis für
> die genannte Aufgabe 2 war kein Problem)
> Ich kann mit keinem der Hinweise was anfangen, habe mit
> allen und allem herumprobiert.
>
> Ich weiß, dass ich das [mm]g_{n}(x)[/mm] weiter zerlegen kann, wenn
> n gerade ist. Dann lässt es sich in
> [mm](x+1)(1+x^2+...+x^{n-2})[/mm] zerlegen.
> Aber das hilft mir ja auch nicht weiter.
> Der erste Fall der nicht durch 2 teilbar aber in pq
> zerlegbar wäre n=9 (=3*3)
> Also [mm]x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1[/mm]
>
> Erst dachte ich, es ginge gar nicht: Ich weiß nur, wie man
> guckt, ob man ein Polynom in lineare Faktoren zerlegen
> kann. Kann man hier nicht.
> Aber das bedeutet ja nicht zwingend, dass es gar nicht
> zerlegbar ist?
Genau.
> Dann habe ich- in Anlehnung an Hinweis 3- mal probiert das
> Polynom in 3er-Blöcke aufzuteilen. Hilft mir aber auch
> nicht.
> Der Hinweis zur Arithmetik: Da gab es eine Aufgabe, in der
> gepüft werden sollte, ob 111111111 durch 3 teilbar ist.
> Dafür unterteilte man 111 111 111 und teile dann jeweils
> 111 durch 3.
>
> Naja, ich habe nun viel herumprobiert und mir gehen die
> Ideen aus.
>
> Einen Hinweis gab es noch in einer Übung, der hilft mir
> aber auch nicht, weil ich ja gar nicht mit [mm]x^n-1[/mm]
>
> [mm]x^n-1[/mm] = [mm]x^{pq}-1 =(x^p)^q[/mm] -1 mit [mm]x^p=y[/mm] ; [mm]y^q-1.[/mm]
Doch, der hilft ziemlich viel 
Du kannst ja [mm] $y^q [/mm] - 1$ als Produkt von zwei Polynomen in $y$ schreiben (eins davon linear; siehe deine Aufgabe 2). Jetzt ersetzt du in dieser Aufteilung $y$ durch [mm] $x^p$. [/mm] Dann hast du [mm] $x^n [/mm] - 1$ als Produkt von zwei Polynomen in $x$ geschrieben. Eines dieser Polynome ist jetzt wieder durch $x - 1$ teilbar.
LG Felix
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Danke schön
manchmal seh ich einfach den Wald vor lauter Bäumen nicht.
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