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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:37 Do 05.05.2011 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | Zeigen Sie die Gültigkeit folgender beider Aussagen:
a) Seien [mm] $a,k\in \mathbb{N}$ [/mm] mit $k>1$ und
[mm] $a^k-1 \in \mathbb{P}$, [/mm] so folgt a=2
b) Seien [mm] $a,k\in \mathbb{N}$ [/mm] mit [mm] $a,k\neq0$ [/mm] und [mm] $a^k+1 \in \mathbb{P}$, [/mm] so folgt a gerade und k Potenz von 2 |
Zu a)
Betrachte die Zerlegung [mm] (a^k-1) [/mm] = [mm] (a^{k-1} +a^{k-2} +\ldots +a+1)\cdot(a-1) [/mm] (jeder Faktor ersichtlich [mm] $\in \mathbb{N}$ $\forall a,k\in \mathbb{N}$ [/mm] welche dann und nur dann echt ist, wenn $a>2$ (denn sonst wäre [mm] $(a^k-1)=1$). [/mm]
Zu b) Frage: Kann ich dies irgendwie auf a) zurückführen? Sonst müsste ich auf schwierigen Weg eine Formel aufstellen. Ein Beispiel hätte ich dafür gefunden. So ist etwa [mm] $6^{5k}+1= (6^k+1)\cdot((6^4)^k-(6^3)^k+(6^2)^k-6^n+1^k) [/mm]
Es scheint mühselig zu sein, eine Formel für einen Ausdruck der Gestalt [mm] $(2\alpha)^{2^{\beta}}($\alpha, \beta \in \mathbb{N}$) [/mm] zu finden, daher frage ich, ob dies auf a) rückführbar ist?
Immerhin gilt ja [mm] $(a^k-1) [/mm] + 2 = [mm] a^k+1$. [/mm] Mir fehlt nur momentan die Idee wie mir diese Differenz 2 weiterhelfen soll. Hat hier jemand eine Idee?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:57 Do 05.05.2011 | | Autor: | abakus |
> Zeigen Sie die Gültigkeit folgender beider Aussagen:
> a) Seien [mm]a,k\in \mathbb{N}[/mm] mit [mm]k>1[/mm] und
> [mm]a^k-1 \in \mathbb{P}[/mm], so folgt a=2
> b) Seien [mm]a,k\in \mathbb{N}[/mm] mit [mm]a,k\neq0[/mm] und [mm]a^k+1 \in \mathbb{P}[/mm],
> so folgt a gerade und k Potenz von 2
> Zu a)
> Betrachte die Zerlegung [mm](a^k-1)[/mm] = [mm](a^{k-1} +a^{k-2} +\ldots +a+1)\cdot(a-1)[/mm]
> (jeder Faktor ersichtlich [mm]\in \mathbb{N}[/mm] [mm]\forall a,k\in \mathbb{N}[/mm]
> welche dann und nur dann echt ist, wenn [mm]a>2[/mm] (denn sonst
> wäre [mm](a^k-1)=1[/mm]).
> Zu b) Frage: Kann ich dies irgendwie auf a) zurückführen?
> Sonst müsste ich auf schwierigen Weg eine Formel
> aufstellen. Ein Beispiel hätte ich dafür gefunden. So ist
> etwa [mm]$6^{5k}+1= (6^k+1)\cdot((6^4)^k-(6^3)^k+(6^2)^k-6^n+1^k)[/mm]
> Es scheint mühselig zu sein, eine Formel für einen
> Ausdruck der Gestalt [mm]$(2\alpha)^{2^{\beta}}($\alpha, \beta \in \mathbb{N}$)[/mm]
> zu finden, daher frage ich, ob dies auf a) rückführbar
> ist?
> Immerhin gilt ja [mm](a^k-1) + 2 = a^k+1[/mm]. Mir fehlt nur
> momentan die Idee wie mir diese Differenz 2 weiterhelfen
> soll. Hat hier jemand eine Idee?
Hallo,
[mm] a^k+1 [/mm] lässt sich für ungerade k faktorisieren, so ist z.B.
[mm] a^5+1=(a+1)(a^4-a^3+a^2+a+1).
[/mm]
Damit lässt sich [mm] a^k [/mm] auch faktorisieren, wenn k ein Vielfaches einer ungeraden Zahl ist, z.B.
[mm] a^{10}+1=(a^2+1)(a^8-a^6+a^4+a^2+1).
[/mm]
Da sich [mm] a^k+1 [/mm] in diesen Fällen faktorisieren lässt, kann es in diesen Fällen keine Primzahl gewesen sein.
Gruß Abakus
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