Zerlegung eines Vektors < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei [mm] \vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}, \vec{e_{3}} [/mm] eine Orthonormalbasis eines dreidimensionalen Euklidischen Vektorraumes [mm] E_{3}.
[/mm]
Sei T der von den Vektoren [mm] \vec{a} [/mm] = [mm] -\vec{e_{1}} [/mm] + [mm] \vec{e_{3}} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] = [mm] \vec{e_{2}} [/mm] aufgespannte Teilraum.
Zerlegen Sie den Vektor [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] -\vec{e_{1}} [/mm] + [mm] 2\vec{e_{2}} [/mm] + [mm] 5\vec{e_{3}} [/mm] gemäß [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vec{u} [/mm] + [mm] \vec{v} [/mm] mit [mm] \vec{u} \in [/mm] T und [mm] \vec{v} \in T^{\perp} [/mm] (Komplement). |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hi Leute,
dies ist mein erster Post und ich hoffe ich mache alles richtig.
Also: Ich komme bei dieser Aufgabe nicht wirklich weiter und hoffe Ihr könnt mir etwas weiterhelfen.
Gruß marv
|
|
| |
|
> Sei [mm]\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}, \vec{e_{3}}[/mm] eine
> Orthonormalbasis eines dreidimensionalen Euklidischen
> Vektorraumes [mm]E_{3}.[/mm]
> Sei T der von den Vektoren [mm]\vec{a}[/mm] = [mm]-\vec{e_{1}}[/mm] +
> [mm]\vec{e_{3}}[/mm] und [mm]\vec{b}[/mm] = [mm]\vec{e_{2}}[/mm] aufgespannte
> Teilraum.
> Zerlegen Sie den Vektor [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]-\vec{e_{1}}[/mm] +
> [mm]2\vec{e_{2}}[/mm] + [mm]5\vec{e_{3}}[/mm] gemäß [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vec{u}[/mm] +
> [mm]\vec{v}[/mm] mit [mm]\vec{u} \in[/mm] T und [mm]\vec{v} \in T^{\perp}[/mm]
> (Komplement).
> Hi Leute,
>
> dies ist mein erster Post und ich hoffe ich mache alles
> richtig.
Hallo, dann erstmal ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> Also: Ich komme bei dieser Aufgabe nicht wirklich weiter
> und hoffe Ihr könnt mir etwas weiterhelfen.
Der Raum $T$ besitzt laut Aufgabenstellung die Basis $(a,b)$ (mach dir klar, dass das eine Basis ist).
Der Raum [mm] $T^{\perp}$ [/mm] ist das orthogonale Komplement. Da $T$ zweidimensional ist, ist [mm] $T^{\perp}$ [/mm] eindimensional und du kannst einen aufspannenden Vektor zum Beispiel durch das Kreuzprodukt
$c = a [mm] \times [/mm] b$
berechnen. Mach das mal!
Es gibt nun zwei Möglichkeiten:
1) [elementare, nicht elegant] Du machst ein lineares Gleichungssystem, indem du
$x = [mm] \lambda_1*a [/mm] + [mm] \lambda_2*b [/mm] + [mm] \lambda_3*c$
[/mm]
nach [mm] $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ [/mm] auflöst. Dann muss
$u = [mm] \lambda_1*a [/mm] + [mm] \lambda_2*b \in [/mm] T$ und $v = [mm] \lambda_3*c \in T^{\perp}$
[/mm]
gewählt werden. Ist das klar?
2) Du führst eine orthogonale Projektion des Vektors $x$ auf den Raum $T$ durch. Dazu musst du die Basis $(a,b)$ von $T$ in eine Orthonormalbasis $(a', b')$ umwandeln. (Gram-Schmidtsches Orthogonalisierungsverfahren).
Dann kannst du mittels der Formel
$P(x) = [mm] \langle [/mm] x,a' [mm] \rangle [/mm] * a' + [mm] \langle [/mm] x,b' [mm] \rangle [/mm] * b' [mm] \in [/mm] T$
eine Projektion von $x$ auf $T$ berechnen. Es ist dann $u = P(x)$ zu wählen und $v = x-u [mm] \in T^{\perp}$.
[/mm]
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:46 Mo 16.04.2012 | | Autor: | marvman91 |
Vielen Dank für deine Hilfe!
Ich habe das Ganze mit Gram-Schmidt gelöst. War ja doch einfacher, als ich angenommen hatte.
Wenn jemand an der Lösung interessiert ist, einfach melden.
Gruß marv
|
|
|
|
