Zerfallsgesetz < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:03 Do 14.09.2006 | | Autor: | J.W.5 |
| Aufgabe | Bekannt ist, dass das Zerfallsgesetz so lautet:
[mm] N=N_{0}*e^{-k*t}
[/mm]
Für Radium C ist T=19,7 Minuten. Wie heißt das Zerfallsgesetz? |
Hey Leute,
ich habe das mal versucht und komme auf das Ergebnis:
[mm] -\bruch{ln19,7}{t}=k
[/mm]
Ist das richtig, oder muss ich gar nicht t errechnen?
Bitte helft mir, ich wäre sehr dankbar.
Judith
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:26 Do 14.09.2006 | | Autor: | Kuebi |
Hallo du!
Allgemein ist das Zerfallsgesetz ja wie du bereits geschrieben hast
$ [mm] N(t)=N_{0}\cdot{}e^{-k\cdot{}t} [/mm] $
Ich denke dir ist bekannt, was die einzelnen Variablen für einen Bedeutung haben:
$N(t)$...Zahl der noch vorhandenen Atome nach Zerfallszeit t
[mm] $N_{0}$...Anzahl [/mm] der Atome am Anfang
$t$...Zerfallszeit
$k$...Zerfallskonstante
Um jetzt genau das Gesetz für einen bestimmten Stoff aufzustellen, braucht man die Zerfallskonstante. Und um diese zu bestimmen geht man wie folgt vor:
Gegeben ist ja die Halbwertszeit T, nach welcher nur noch die Hälfte der Atome vorhanden ist. (Ich hoffe mit T ist bei euch diese Zeit gemeint!)
Es muss also gelten
$ [mm] N(T)=N_{0}\cdot{}e^{-k\cdot{}T}\overbrace{=}^{!}\bruch{N_{0}}{2} [/mm] $
[mm] N_{0} [/mm] kürzt sich auf beiden Seiten wie du siehst, und auflösen nach $k$ ergibt
[mm] k=-\bruch{ln(\bruch{1}{2})}{T}=\bruch{ln(2)}{T}
[/mm]
ln(2) ist ein Wert, den dir dein Taschenrechner ausspuckt, T ist bekannt und somit kannst du das gesamte Zerfallsgesetz aufstellen.
Ich hoffe das hilft dir weiter!
Lg, Kübi
[heupf]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:35 Do 14.09.2006 | | Autor: | J.W.5 |
| Aufgabe | | Frage nach dem Zerfallsgesetz. s.o. |
Erst mal danke für die Antwort, die ich leider nur halb verstanden habe. Wo sind dann jetzt die 19.7Min. abgeblieben? Die muss ich doch berücksichtigen. Und was hat die Rechnung mit der Halbwärtszeit zu tun???
Judith
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:43 Do 14.09.2006 | | Autor: | Kuebi |
Hey du!
Nun, wir haben ja den Ansatz gemacht
[mm] N(t)=N_{0}*e^{-k*t}
[/mm]
Dann haben wir gesagt, nach Ablauf der sogennanten Halbwertszeit ist nur noch die Hälfte aller Atome da, also gerade [mm] \bruch{N_{0}}{2} [/mm] viele.
![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]") Das heißt, [mm] N(T)=\bruch{N_{0}}{2}=N_{0}*e^{-k*T} [/mm] (1)
Betrachten wir also die Gleichung
[mm] \bruch{N_{0}}{2}=N_{0}*e^{-k*T}
[/mm]
Hier ist T bekannt (deine 19,7min) und [mm] N_{0} [/mm] kürzt sich raus.
Nach k auflösen ergibt ja, wie wir schon gesehen haben
[mm] k=\bruch{ln(2)}{T}=\bruch{ln(2)}{19.7min}
[/mm]
An dieser Stelle brauchst du also deine Zeit T.
Wichtig ist der Ansatz (1). Da wir keine konkreten Angaben über die Atommenge, aber die Halbwertszeit haben, können wir diesen Ansatz überhaupt machen! Und der ist ja wie du siehst am Ende unabhängig von der Zahl der Atome!
Alles klar jetzt?
Wenn nicht, einfach nochmal melden!
Lg, Kübi
![[huepf]](/images/smileys/huepf.gif "[huepf]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:15 Do 14.09.2006 | | Autor: | J.W.5 |
Vielen, vielen Dank. Hat mir echt sehr weitergeholfen.
Tschüß Judith
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