Zerfällungskörper vom Polynom < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:32 Mi 30.05.2012 | | Autor: | shadee |
| Aufgabe | | Bestimme einen Zerfällungskörper des Polynoms [mm] X^4+2X^2-2 [/mm] über [mm] \IQ [/mm] sowie dessen Grad. |
Ich bestimme erstmal die Nullstellen, die da wären:
[mm] \wurzel{\wurzel{3}-1},
[/mm]
[mm] -\wurzel{\wurzel{3}-1},
[/mm]
[mm] i*\wurzel{1+\wurzel{3}},
[/mm]
[mm] -i*\wurzel{1+\wurzel{3}}
[/mm]
Nun bestimme ich einen Erweiterungskörper, der diese Nullstellen enthält in etwa [mm] \IQ(\wurzel{\wurzel{3}-1}, [/mm] i) (?), sowie dessen Grad, der da wäre 8.
Jetzt müsste ich noch zeigen, dass es keinen echten Zwischenkörper gibt, der diese Nullstellen enthält und ich somit den kleinsten Körper gefunden habe, der dann mein Zerfäälungskörper wäre.
Ist das korrekt? Irgendwelche Fehler meinerseits? Bin dabei noch sehr unsicher und wäre über Feedback sehr dankbar.
Grüße
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> Bestimme einen Zerfällungskörper des Polynoms [mm]X^4+2X^2-2[/mm]
> über [mm]\IQ[/mm] sowie dessen Grad.
> Ich bestimme erstmal die Nullstellen, die da wären:
>
> [mm]\wurzel{\wurzel{3}-1},[/mm]
> [mm]-\wurzel{\wurzel{3}-1},[/mm]
> [mm]i*\wurzel{1+\wurzel{3}},[/mm]
> [mm]-i*\wurzel{1+\wurzel{3}}[/mm]
>
> Nun bestimme ich einen Erweiterungskörper, der diese
> Nullstellen enthält in etwa [mm]\IQ\left(\wurzel{\wurzel{3}-1}, i\right) [/mm]
Nicht irgendeinen Erweiterungskörper. Es geht um den kleinsten Erweiterungskörper.
> (?),
> sowie dessen Grad, der da wäre 8.
Aber nur, wenn du (noch) begründen kannst, dass
[mm]i\not\in \IQ\left(\wurzel{\wurzel{3}-1\right) [/mm] gilt und das Minimalpolynom von [mm]\wurzel{\wurzel{3}-1[/mm] Grad 4 hat.
>
> Jetzt müsste ich noch zeigen, dass es keinen echten
> Zwischenkörper gibt, der diese Nullstellen enthält und
> ich somit den kleinsten Körper gefunden habe, der dann
> mein Zerfäälungskörper wäre.
siehe oben
>
> Ist das korrekt? Irgendwelche Fehler meinerseits? Bin dabei
> noch sehr unsicher und wäre über Feedback sehr dankbar.
>
> Grüße
Grüße zurück
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:59 Do 31.05.2012 | | Autor: | shadee |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
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Jetzt wird sich zeigen, wie gut ich das verstanden habe (fürchte ich):
> Aber nur, wenn du (noch) begründen kannst, dass
> $ i\not\in \IQ\left(\wurzel{\wurzel{3}-1\right) $ gilt und das
> Minimalpolynom von $ \wurzel{\wurzel{3}-1 $ Grad 4 hat.
$ \IQ\left(\wurzel{\wurzel{3}-1\right) $ ist ja der Körper \IQ mit einem weiteren Element \wurzel{\wurzel{3}-1} und allen anderen Elemente, sodass es wieder ein Körper ist (insbesondere inverses) also gegenüber Multiplikation und Addition abgeschlossen. (Richtig?) Damit dies ein Körper ist brauche ich kein i und somit ist es auch nicht in diesem enthalten.
Wie ich jez begründen kann, dass der grad(minpol) =4 ist komm ich grade nicht so schnell drauf.
Die Minimalität des Körpers würde ich genauso zeigen.
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moin,
> Jetzt wird sich zeigen, wie gut ich das verstanden habe
> (fürchte ich):
>
> > Aber nur, wenn du (noch) begründen kannst, dass
> > [mm]i\not\in \IQ\left(\wurzel{\wurzel{3}-1\right)[/mm] gilt und
> das
> > Minimalpolynom von [mm]\wurzel{\wurzel{3}-1[/mm] Grad 4 hat.
> [mm]\IQ\left(\wurzel{\wurzel{3}-1\right)[/mm] ist ja der Körper [mm]\IQ[/mm]
> mit einem weiteren Element [mm]\wurzel{\wurzel{3}-1}[/mm] und allen
> anderen Elemente, sodass es wieder ein Körper ist
> (insbesondere inverses) also gegenüber Multiplikation und
> Addition abgeschlossen. (Richtig?)
Anschaulich ja.
Formal sind es alle rationalen Ausdrücke in [mm] $\sqrt{\sqrt{3}-1}$.
[/mm]
(Hiermit sind [mm] $\frac{p}{q}$ [/mm] mit $q [mm] \neq [/mm] 0$ und $p,q$ Polynome in [mm] $\sqrt{\sqrt{3}-1}$ [/mm] gemeint, das rational bezieht sich nicht auf die Vorfaktoren.)
Dass das dann wirklich der kleinste Körper ist, der beides enthält, ist eine zu beweisende Tatsache, aber normalerweise nicht die Definition.
> Damit dies ein Körper
> ist brauche ich kein i und somit ist es auch nicht in
> diesem enthalten.
Das ist wieder sehr anschaulich.
Um das korrekt zu machen müsstest du noch genau begründen, wieso ein polynominieller Ausdruck in [mm] $\sqrt{\sqrt{3}-1}$ [/mm] zum Quadrat niemals $-1$ ergeben kann.
Ich sehe auch im Moment nicht, wie man das ohne einen richtigen Beweis einsehen soll, also da musst du dir wohl noch was überlegen.
> Wie ich jez begründen kann, dass der grad(minpol) =4 ist
> komm ich grade nicht so schnell drauf.
"Wenn ein normiertes, irreduzibles Polynom [mm] $\alpha$ [/mm] als Nullstelle hat, so ist es bereits das Minimalpolynom von [mm] $\alpha$." [/mm]
Kennst du diese Aussage?
Wenn nein mach sie dir kurz klar, die ist nicht so schwer zu zeigen.
Dann bleibt nur noch zu zeigen, dass dein Polynom irreduzibel ist.
Kennst du einen brauchbaren Satz für die Irreduziblität ganzzahliger Polynome über [mm] $\IQ$?
[/mm]
Zu guter Letzt noch:
Wieso ist $ [mm] i\cdot{}\wurzel{1+\wurzel{3}} [/mm] $ in deinem Körper drinn?
Hier steht ein + unter der Wurzel, kein -, deshalb glaube ich dir das ohne eine kurze Begründung auch nicht. ;)
lg
Schadowmaster
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:49 Do 31.05.2012 | | Autor: | shadee |
Ja ich versuch mir das immer sehr anschaulich zu halten. Ich bin eig kein Mathematiker sondern mach das nur als Nebenfach und hab dann bei dem ganzen abstraktem Denken so meine lieben Schwierigkeiten. Jedenfalls ein Ansatz zum Beweisen der Minimalität:
Ich muss zeigen, dass wenn ich eine Körpererweiterung [mm] \IQ(\wurzel{\wurzel{3}-1},i) [/mm] | Z | [mm] \IQ [/mm] habe, dass dann folgt, dass [mm] \IQ(\wurzel{\wurzel{3}-1},i) [/mm] = Z. Könnte ich da über den Gradsatz gehen und sagen, dass der Grad der Körpererweiterung eben mindestens 8 (was ich ja auch noch beweisen muss) sein muss und somit Z so sein muss. Z kann keine andere Körpererweiterung vom Grad 8 (ist jez nur die Annahme) sein, da es eben genau die Nullstellen enthalten muss und es gibt eben keine, die die Nullstellen enthält und zusätzlich was anderes.
So nun noch mal zum beweisen des Grades der Körpererweiterung: Der Grad der Körpererweiterung ist die Dimension des Oberkörpers als Vektorraum aufgefasst mit Addition als Vektoraddition und Multiplikation als Skalarmultiplikation. Dann bastel ich mir ne Basis (uff wie ging das nochmal?) und dann ist die Dimension die Anzahl der Vektoren in der Basis, sollte eben diese 8 sein, wenn ich mit meiner Anfangvermutung richtig liege.
Alternativ sind das die Anzahl der Nullstellen des Minimalpolynoms? (Achtung das ist eine Frage und keine Feststellung^^).
> "Wenn ein normiertes, irreduzibles Polynom $ [mm] \alpha [/mm] $ als Nullstelle hat,
> so ist es bereits das Minimalpolynom von $ [mm] \alpha [/mm] $."
Ja das ist nachvollziehbar. Ein Minimalpolynom muss irreduzibel sein und minimal bezüglich das grades sein. Da das angegeben Polynom bereits irreduzibel ist kann es auch kein kleineren Grades geben, sodass es diese Nullstelle hat. Also das Minimalpolynom.
> Kennst du einen brauchbaren Satz für die Irreduziblität ganzzahliger
> Polynome über $ [mm] \IQ [/mm] $?
Das Eisensteinkriterium. Funktioniert in faktoriellen Ringen (also [mm] \IQ). [/mm] Gut dann kann ich das also auch zeigen.
> Wieso ist $ [mm] i\cdot{}\wurzel{1+\wurzel{3}} [/mm] $ in deinem Körper drinn?
Es ist eine Nullstelle des oben erwähnten Minimalpolynoms ist also Bestandteils des Zerfällungskörpers.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:32 Sa 02.06.2012 | | Autor: | shadee |
Ich hab das ganze noch mal von vorne gemacht und erhalte: f = [mm] x^4+2x^2-2 [/mm] hat die Nullstellen [mm] $\pm \wurzel{\wurzel{3}-1}$, $\pm i*\wurzel{\wurzel{1}+3}$. [/mm] Dann kann ich den Erweiterungskörper L = [mm] \IQ(i, \wurzel{\wurzel{3}-1}) [/mm] nehmen, dessen Grad 4 ist. Denn f ist das Minimalpolynom von L, da es normiert und irreduzibel ist (nach Eisenstein). Um dann noch zu zeigen, dass [mm] i*\wurzel{\wurzel{1}+3} \in [/mm] L ist betrachte man folgendes:
[mm] $\wurzel{\wurzel{3}-1} \in [/mm] L [mm] \Rightarrow \wurzel{\wurzel{3}-1}^{-1} \in [/mm] L$
[mm] $\wurzel{\wurzel{3}-1}^{-1} [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{2}}{\wurzel{\wurzel{1}+3}}$ [/mm] und somit ist das in L enthalten, wenn ich es mit $i$ was ebenfalls in L enthalten ist multipliziere. Wie sieht es damit aus?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Sa 02.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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