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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:55 Mi 08.09.2010 | | Autor: | cantor |
Hallo zusammen,
wieder einmal würde ich mich über Hinweise zu folgendem Problem freuen:
Es geht um den Beweis der Eindeutigkeit des Zerfällungskörpers eines Polynoms. Der Beweis ist mir klar, mit Ausnahme eines Schrittes den ich hier skizzieren möchte:
Es ist [mm]m \in k[x][/mm], [mm]p[/mm] ist ein irreduzibler Teiler von [mm]m[/mm] und [mm]a[/mm] eine Nullstelle von [mm]p[/mm]. [mm]k(a)[/mm] ist die zugehörige einfache Körpererweiterung. [mm]K[/mm] ist ein Zerfällungskörper von [mm]m[/mm]. Nun heißt es im Beweis:
[mm]m = (x-a)*g[/mm] in [mm]k(a)[x][/mm]
Das ist klar, [mm]a[/mm] ist Nullstelle in [mm]k(a)[x][/mm], diese kann man in [mm]k(a)[x][/mm] "ausklammern".
Weiter heißt es:
[mm]K[/mm] ist ein Zerfällungskörper von [mm]g[/mm] über [mm]k(a)[/mm].
Das ist mir nicht klar. Die Nullstelle [mm]a[/mm] muss ja nicht in [mm]K[/mm] liegen. Wie kann man also allgemein zeigen, dass für eine beliebige Nullstelle diese Aussage gilt?
Besten Dank im Voraus für Eure Hinweise
cantor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:12 Mi 08.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin cantor!
> wieder einmal würde ich mich über Hinweise zu folgendem
> Problem freuen:
>
> Es geht um den Beweis der Eindeutigkeit des
> Zerfällungskörpers eines Polynoms. Der Beweis ist mir
> klar, mit Ausnahme eines Schrittes den ich hier skizzieren
> möchte:
>
> Es ist [mm]m \in k[x][/mm], [mm]p[/mm] ist ein irreduzibler Teiler von [mm]m[/mm] und
> [mm]a[/mm] eine Nullstelle von [mm]p[/mm]. [mm]k(a)[/mm] ist die zugehörige einfache
> Körpererweiterung. [mm]K[/mm] ist ein Zerfällungskörper von [mm]m[/mm].
> Nun heißt es im Beweis:
>
> [mm]m = (x-a)*g[/mm] in [mm]k(a)[x][/mm]
>
> Das ist klar, [mm]a[/mm] ist Nullstelle in [mm]k(a)[x][/mm], diese kann man
> in [mm]k(a)[x][/mm] "ausklammern".
Genau.
> Weiter heißt es:
>
> [mm]K[/mm] ist ein Zerfällungskörper von [mm]g[/mm] über [mm]k(a)[/mm].
>
> Das ist mir nicht klar. Die Nullstelle [mm]a[/mm] muss ja nicht in [mm]K[/mm]
> liegen. Wie kann man also allgemein zeigen, dass für eine
> beliebige Nullstelle diese Aussage gilt?
Doch: $K$ ist Zerfaellungskoerper von $m$ ueber $k$ und enthaelt somit alle Nullstellen von $m$, insbesondere auch $a$.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:39 Do 09.09.2010 | | Autor: | cantor |
Hallo Felix,
danke nochmal für die schnelle Antwort.
Ein Zerfällungskörper muss natürlich ALLE Nulstellen enthalten, das macht Sinn.
Wenn's nur immer so einfach wäre.
Viele Grüße,
cantor
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