Zerfällungskörper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:34 Mo 14.02.2011 | | Autor: | m51va |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Grad des Zerfällungskörpers der folgenden Polynome über [mm] $\IQ$
[/mm]
a) $f(x) : = [mm] x^2 [/mm] - 2$
b) $g(x) : = [mm] x^3 [/mm] - 2$
c) $h(x) [mm] :=x^4 [/mm] - 3$ |
a) $f(x)$ hat die Nullstellen [mm] $\pm \wurzel{2} \in \IR$. [/mm] Damit ist der Zerfällungskörper [mm] $L=\IQ[\wurzel{2},-\wurzel{2}]$. [/mm] Da [mm] $-1\in \IQ$, [/mm] ist also auch [mm] $-1\cdot \wurzel{2}\in \IQ[\wurzel{2}]$. [/mm] Somit vereinfacht sich $L$ zu [mm] $L=\IQ[\wurzel{2}]$. [/mm] Der Grad des Zerfällungskörpers ist demnach [mm] $\left[ \IQ[ \wurzel{2} ] : \IQ \right]=2$, [/mm] da das Minimalpolynom den Grad $2$ hat.
Ich denke das ist soweit richtig.
b) $g(x)$ hat die Nullstellen $ [mm] \wurzel[3]{2}, \omega \cdot \wurzel[3]{2}$ [/mm] und [mm] $\overline{w}\cdot \wurzel[3]{2}$, [/mm] wobei [mm] $\omega$ [/mm] die dritte primittive Einheitswurzel ist, d.h. $w=- [mm] \bruch{1}{2} \cdot \left( 1 + \wurzel{3}\cdot i \right)$. [/mm] Dann ist $L = [mm] \IQ[ \wurzel[3]{2} [/mm] , [mm] \omega [/mm] ] $ der Zerfallungskörper. Stimmt? Es ist [mm] $\left[ \IQ [ \wurzel[3]{2} ]: \IQ ] \right] [/mm] = 3$, da [mm] $x^3-2$ [/mm] das Minimalpolynom ist. Nun weiß ich allerdings nicht weiter, was den Grad des Zerfallungskörpers betrifft. (siehe c) )
c) $h(x)$ hat die Nullstellen [mm] $\pm \wurzel[4]{3}$ [/mm] und [mm] $\pm \wurzel[4]{3}\cdot [/mm] i$. Nach dem Argument aus a) ist dann $L= [mm] \IQ[ \wurzel[4]{3} [/mm] , i ] $ der Zerfällungskörper über [mm] $\IQ$. [/mm] Richtig?
Nun ist [mm] $\left[ \IQ [ \wurzel[4]{3} ]: \IQ ] \right] [/mm] = 4$, da $h(x)$ nach Eisenstein irreduzibel ist und somit das Minimalpolynom von [mm] $\wurzel[4]{3}$ [/mm] ist. Aber wie bestimme ich nun $ [ L : [mm] \IQ [/mm] ] $? Inwiefern nutzt mir der Gradsatz [mm] ($K\leq [/mm] L [mm] \leq [/mm] F [mm] \Rightarrow [/mm] |F:K| = |F:L| [mm] \cdot [/mm] |L:K| )$ etwas?
Wäre nett wenn einer drüber schauen könnte und mir bei b) und c) helfen kann den Grad des Zerfällungskörpers zu bestimmen.
Der Satz vom primittiven Element besagt, wenn L eine endliche Körpererweiterung von K ist ( [mm] $L=K(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n)$ [/mm] ), dann existiert ein [mm] $a\in [/mm] K$ mit $L = K(a)$. Habe ich das so richtig verstanden? Wie kann ich ein solchen Element finden (zum Beispiel bei Teilaufgabe b) und c) )????
Vielen vielen dank schon mal im Vorraus.
gruß
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> Bestimmen Sie den Grad des Zerfällungskörpers der
> folgenden Polynome über [mm]\IQ[/mm]
> a) [mm]f(x) : = x^2 - 2[/mm]
> b) [mm]g(x) : = x^3 - 2[/mm]
> c) [mm]h(x) :=x^4 - 3[/mm]
>
> a) [mm]f(x)[/mm] hat die Nullstellen [mm]\pm \wurzel{2} \in \IR[/mm]. Damit
> ist der Zerfällungskörper [mm]L=\IQ[\wurzel{2},-\wurzel{2}][/mm].
> Da [mm]-1\in \IQ[/mm], ist also auch [mm]-1\cdot \wurzel{2}\in \IQ[\wurzel{2}][/mm].
> Somit vereinfacht sich [mm]L[/mm] zu [mm]L=\IQ[\wurzel{2}][/mm]. Der Grad des
> Zerfällungskörpers ist demnach [mm]\left[ \IQ[ \wurzel{2} ] : \IQ \right]=2[/mm],
> da das Minimalpolynom den Grad [mm]2[/mm] hat.
> Ich denke das ist soweit richtig.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
>
> b) [mm]g(x)[/mm] hat die Nullstellen [mm]\wurzel[3]{2}, \omega \cdot \wurzel[3]{2}[/mm]
> und [mm]\overline{w}\cdot \wurzel[3]{2}[/mm], wobei [mm]\omega[/mm] die
> dritte primittive Einheitswurzel ist, d.h. [mm]w=- \bruch{1}{2} \cdot \left( 1 + \wurzel{3}\cdot i \right)[/mm].
> Dann ist [mm]L = \IQ[ \wurzel[3]{2} , \omega ][/mm] der
> Zerfallungskörper. Stimmt? Es ist [mm]\left[ \IQ [ \wurzel[3]{2} ]: \IQ ] \right] = 3[/mm],
> da [mm]x^3-2[/mm] das Minimalpolynom ist. Nun weiß ich allerdings
> nicht weiter, was den Grad des Zerfallungskörpers
> betrifft. (siehe c) )
Das hast ja die Formel:[mm][\IQ(\sqrt[3](2),\omega):\IQ ]=[\IQ(\sqrt[3](2),\omega) :\IQ(\sqrt[3](2) ]*[\IQ(\sqrt[3](2) :\IQ][/mm]
Betrachte [mm]\omega^2+\omega+1[/mm]. Damit erhälst du [mm][\IQ(\sqrt[3](2),\omega) :\IQ(\sqrt[3](2) ][/mm]
>
>
> c) [mm]h(x)[/mm] hat die Nullstellen [mm]\pm \wurzel[4]{3}[/mm] und [mm]\pm \wurzel[4]{3}\cdot i[/mm].
> Nach dem Argument aus a)
> ist dann [mm]L= \IQ[ \wurzel[4]{3} , i ][/mm]
> der Zerfällungskörper über [mm]\IQ[/mm]. Richtig?
> Nun ist [mm]\left[ \IQ [ \wurzel[4]{3} ]: \IQ ] \right] = 4[/mm],
> da [mm]h(x)[/mm] nach Eisenstein irreduzibel ist und somit das
> Minimalpolynom von [mm]\wurzel[4]{3}[/mm] ist. Aber wie bestimme ich
> nun [mm][ L : \IQ ] [/mm]? Inwiefern nutzt mir der Gradsatz ([mm]K\leq L \leq F \Rightarrow |F:K| = |F:L| \cdot |L:K| )[/mm]
> etwas?
[mm]i\notin \IQ(\sqrt[4]{3})[/mm]!
Das Minimalpolynom von i in [mm]\IQ(\sqrt[4]{3})[/mm] ist [mm]x^2+1[/mm]. Damit kannst du den wieder Gradsatz anwenden.
>
> Wäre nett wenn einer drüber schauen könnte und mir bei
> b) und c) helfen kann den Grad des Zerfällungskörpers zu
> bestimmen.
>
> Der Satz vom primittiven Element besagt, wenn L eine
> endliche Körpererweiterung von K ist (
> [mm]L=K(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n)[/mm] ), dann existiert
> ein [mm]a\in K[/mm] mit [mm]L = K(a)[/mm]. Habe ich das so richtig
> verstanden? Wie kann ich ein solchen Element finden (zum
> Beispiel bei Teilaufgabe b) und c) )????
Als erstes versuche ich immer [mm]\IQ(\alpha,\beta)=\IQ(\alpha+\beta)[/mm]. Das funktioniert meistens.
Genauer: ist [mm]char(K)\neq 2[/mm] und [mm]a,b\in K[/mm] und [mm]L=K(\sqrt{a},\sqrt{b})[/mm] so ist [mm]\sqrt{a}+\sqrt{b}[/mm] ein primitives Element der KE L:K.
Allgemein macht man den Ansatz: Ist K unendlich, so kann man [mm]\IQ(\alpha + \gamma\beta)[/mm] versuchen. Wobei [mm]\alpha[/mm] algebraisch und [mm]\beta[/mm] separabel über K (hier [mm]\IQ[/mm]) ist. Du wählst dann ein [mm]\gamma \in K \setminus \{ \frac{\alpha_k- \alpha}{\beta - \beta_j}\}[/mm] Wobei [mm]\alpha_k[/mm] die Nullstellen vom Min.Pol von [mm]\alpha[/mm] und [mm]\beta_j[/mm] die Nst. vom MinPol von [mm]\beta[/mm] sind. Damit ist auf jeden Fall [mm] $\gamma\neq [/mm] 0$
>
> Vielen vielen dank schon mal im Vorraus.
> gruß
Ich hoffe ich konnte ein wenig helfen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:21 Mo 14.02.2011 | | Autor: | m51va |
Hi wieschoo erstmal vielen dank für deine antwort. Guckst du noch einmal drüber, obs richitg ist, das wäre nett.
> Das hast ja die Formel:[mm][\IQ(\sqrt[3](2),\omega):\IQ ]=[\IQ(\sqrt[3](2),\omega) :\IQ(\sqrt[3](2) ]*[\IQ(\sqrt[3](2) :\IQ][/mm]
Danke das war mir so nicht bewusst. klingt jetzt aber logisch.
> Betrachte [mm]\omega^2+\omega+1[/mm]. Damit erhälst du
> [mm][\IQ(\sqrt[3](2),\omega) :\IQ(\sqrt[3](2) ][/mm]
In unserem Script gibt es ein Lemma, dass besagt, wenn [mm] $\varepsilon$ [/mm] eine primitive p-te Einheitswurzel ist, dann ist das Minimalpolynom von [mm] $\varepsilon$ [/mm] über [mm] $\IQ$ [/mm] gegeben durch [mm] $m_{\varepsilon}=x^{p-1} [/mm] + [mm] x^{p-2} [/mm] + [mm] \ldots [/mm] +x + 1$. Demnach ist [mm] $m_{\omega}=\omega^2+\omega+1$ [/mm] das Minimalpolynom zu [mm] $\omega$. [/mm] Da hätte ich wirklich selber drauf kommen können. Danke
Damit erhalte ich $ [mm] [\IQ(\sqrt[3](2),\omega) :\IQ(\sqrt[3](2) [/mm] ] = [mm] \deg m_{\omega} [/mm] = 2$ und schließlich als erweiterungsgrad
$ [mm] [\IQ(\sqrt[3](2),\omega):\IQ ]=[\IQ(\sqrt[3](2),\omega) :\IQ(\sqrt[3](2) ]\cdot{}[\IQ(\sqrt[3](2) :\IQ] [/mm] = [mm] 2\cdot [/mm] 3 = 6$.
Ich denke das stimmt so.
> [mm]i\notin \IQ(\sqrt[4]{3})[/mm]!
> Das Minimalpolynom von i in
> [mm]\IQ(\sqrt[4]{3})[/mm] ist [mm]x^2+1[/mm]. Damit kannst du den wieder
> Gradsatz anwenden.
$ [mm] \left[ \IQ [ \wurzel[4]{3},i ]: \IQ [ \wurzel[4]{3} ] \right] [/mm] = 2$, da [mm] $\deg x^2 [/mm] +1=2$ und
[mm] $\left[ \IQ [ \wurzel[4]{3} ]: \IQ \right] [/mm] = 4$, da [mm] $x^4-3$ [/mm] irreduzibel ist.
Also insgesamt erweiterungsgrad 8.
> Als erstes versuche ich immer
> [mm]\IQ(\alpha,\beta)=\IQ(\alpha+\beta)[/mm]. Das funktioniert
> meistens.
okay.
> Genauer: ist [mm]char(K)\neq 2[/mm] und [mm]a,b\in K[/mm] und
> [mm]L=K(\sqrt{a},\sqrt{b})[/mm] so ist [mm]\sqrt{a}+\sqrt{b}[/mm] ein
> primitives Element der KE L:K.
Genau so einen Satz habe ich gebraucht, das kann man sich doch gut merken. danke.
> Ich hoffe ich konnte ein wenig helfen.
Oja:D
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> Hi wieschoo erstmal vielen dank für deine antwort. Guckst
> du noch einmal drüber, obs richitg ist, das wäre nett.
>
> > Das hast ja die Formel:[mm][\IQ(\sqrt[3](2),\omega):\IQ ]=[\IQ(\sqrt[3](2),\omega) :\IQ(\sqrt[3](2) ]*[\IQ(\sqrt[3](2) :\IQ][/mm]
>
> Danke das war mir so nicht bewusst. klingt jetzt aber
> logisch.
Du hattest doch auch die Formel angegeben?!
>
> > Betrachte [mm]\omega^2+\omega+1[/mm]. Damit erhälst du
> > [mm][\IQ(\sqrt[3](2),\omega) :\IQ(\sqrt[3](2) ][/mm]
>
> In unserem Script gibt es ein Lemma, dass besagt, wenn
> [mm]\varepsilon[/mm] eine primitive p-te Einheitswurzel ist, dann
> ist das Minimalpolynom von [mm]\varepsilon[/mm] über [mm]\IQ[/mm] gegeben
> durch [mm]m_{\varepsilon}=x^{p-1} + x^{p-2} + \ldots +x + 1[/mm].
> Demnach ist [mm]m_{\omega}=\omega^2+\omega+1[/mm] das Minimalpolynom
> zu [mm]\omega[/mm]. Da hätte ich wirklich selber drauf kommen
> können. Danke
Kennst du die Kreisteilungspolynome. [mm] $\Phi_3(x)=x^2+x+1$ [/mm] hat die dritte primtive Einheitswurzel als Nullstelle.
>
> Damit erhalte ich [mm][\IQ(\sqrt[3](2),\omega) :\IQ(\sqrt[3](2) ] = \deg m_{\omega} = 2[/mm]
> und schließlich als erweiterungsgrad
> [mm][\IQ(\sqrt[3](2),\omega):\IQ ]=[\IQ(\sqrt[3](2),\omega) :\IQ(\sqrt[3](2) ]\cdot{}[\IQ(\sqrt[3](2) :\IQ] = 2\cdot 3 = 6[/mm].
wunderbar
>
> Ich denke das stimmt so.
Denke ich auch 
>
>
>
> > [mm]i\notin \IQ(\sqrt[4]{3})[/mm]!
> > Das Minimalpolynom von i
> in
> > [mm]\IQ(\sqrt[4]{3})[/mm] ist [mm]x^2+1[/mm]. Damit kannst du den wieder
> > Gradsatz anwenden.
>
>
> [mm]\left[ \IQ [ \wurzel[4]{3},i ]: \IQ [ \wurzel[4]{3} ] \right] = 2[/mm],
> da [mm]\deg x^2 +1=2[/mm] und
> [mm]\left[ \IQ [ \wurzel[4]{3} ]: \IQ \right] = 4[/mm], da [mm]x^4-3[/mm]
> irreduzibel ist.
>
> Also insgesamt erweiterungsgrad 8.
auch ok
>
>
> > Als erstes versuche ich immer
> > [mm]\IQ(\alpha,\beta)=\IQ(\alpha+\beta)[/mm]. Das funktioniert
> > meistens.
>
> okay.
>
> > Genauer: ist [mm]char(K)\neq 2[/mm] und [mm]a,b\in K[/mm] und
> > [mm]L=K(\sqrt{a},\sqrt{b})[/mm] so ist [mm]\sqrt{a}+\sqrt{b}[/mm] ein
> > primitives Element der KE L:K.
>
> Genau so einen Satz habe ich gebraucht, das kann man sich
> doch gut merken. danke.
Den Satz kann man auch leicht beweisen. Deshalb kommt er wahrscheinlich nicht in der Vorlesung dran. War bei mir so.
>
> > Ich hoffe ich konnte ein wenig helfen.
> Oja:D
>
freut mich
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:22 Mo 14.02.2011 | | Autor: | m51va |
> Kennst du die Kreisteilungspolynome. [mm]\Phi_3(x)=x^2+x+1[/mm] hat
> die dritte primtive Einheitswurzel als Nullstelle.
ja sagt mir was. nur zum verständnis.... [mm] $\omega^3 [/mm] - 1= [mm] \Phi_1(x) \cdot \Phi_3(x)$ [/mm] mit [mm] $\Phi_1(x)=x-1$ [/mm] ist dann [mm] $\Phi_3(x)=x^2+x+1$ [/mm] und muss demnach die Nullstellen [mm] $\omega$ [/mm] und [mm] $\overline{\omega}=\omega^2$ [/mm] haben. richtig???
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Da gibt einen Satz, die Nullstellen von den Kreisteilungspolynome n-ten GRades sind gerade n-Einheitswurzeln
[mm]\Phi_n(x)=0\gdw x\in\{\zeta_n^0,\zeta_n^1,\ldots,\zeta_n^{n-1}\}[/mm] wobei [mm] $\zeta_n$ [/mm] so eine n-te Einheitswurzel ist.
> > Kennst du die Kreisteilungspolynome. [mm]\Phi_3(x)=x^2+x+1[/mm] hat
> > die dritte primtive Einheitswurzel als Nullstelle.
>
>
> ja sagt mir was. nur zum verständnis.... [mm]\omega^3 - 1= \Phi_1(x) \cdot \Phi_3(x)[/mm]
brauchst du aber eigentlich nicht.
> mit [mm]\Phi_1(x)=x-1[/mm] ist dann
> [mm]\Phi_3(x)=x^2+x+1[/mm] und muss
dieses Polynom ist wichtig.
> demnach die Nullstellen [mm]\omega[/mm] und
> [mm]\overline{\omega}=\omega^2[/mm] haben. richtig???
siehe oben.
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