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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:52 Do 30.03.2006 | | Autor: | goldie20 |
| Aufgabe | | Man bestimme den Zerfällungskörper von [mm] x^4+1 \in \IQ[x] [/mm] |
Hallo zusammen,
hier ist mein Ansatz.
Also man muß doch einen Körper bestimmen, in der das Polynom in seine Nullstellen zerfällt.
Das Polynom ist nach Substitution und dann nach Eisenstein für p=2 irreduzibel.
Das Polynom besitzt auch Nullstellen die nicht in [mm] \IQ [/mm] enthalten sind. Die Nullstellen sind auch in [mm] \IC [/mm] enthalten.
Es ist [mm] \gamma:=exp(i \pi/4) [/mm] eine Nullstelle des Polynoms in [mm] \IC. [/mm] Da das Polynom irreduzibel ist, ist das Polynom Minimalpolynom von [mm] \gamma.
[/mm]
Ab da weiß ich leider nicht mehr weiter.
Kann mir da bitte jemand weiter helfen?
Gibt es eine allgemeine Herangehensweise bei solchen Aufgaben?
Danke im voraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:50 Do 30.03.2006 | | Autor: | cycilia |
> Man bestimme den Zerfällungskörper von [mm]x^4+1 \in \IQ[x][/mm]
> Also man muß doch einen Körper bestimmen, in der das
> Polynom in seine Nullstellen zerfällt.
Ja, richtig !
> Das Polynom ist nach Substitution und dann nach Eisenstein
> für p=2 irreduzibel.
in [mm] \IQ[x] [/mm] richtig.
> Das Polynom besitzt auch Nullstellen die nicht in [mm]\IQ[/mm]
> enthalten sind. Die Nullstellen sind auch in [mm]\IC[/mm]
> enthalten.
> Es ist [mm]\gamma:=exp(i \pi/4)[/mm] eine Nullstelle des Polynoms
> in [mm]\IC.[/mm]
Am besten, du bestimmst alle 4 Nullstellen des Polynomes:
[mm] x^4 [/mm] +1 = 0 <=> [mm] x^4 [/mm] = -1
Substituiert: [mm] z^2 [/mm] = -1 <=> [mm] z_1 [/mm] = i; [mm] z_2 [/mm] = -i
=> x_ 1 = [mm] \wurze{i} [/mm] = [mm] e^{ \bruch{\pi}{4}} [/mm]
[mm] x_2 [/mm] = - [mm] \wurzel{i} [/mm] = [mm]- e^{ \bruch{\pi}{4}} [/mm]
[mm] x_3 [/mm] = [mm] \wurzel{-i} [/mm] = [mm] e^{ \bruch{-\pi}{4}} [/mm]
[mm] x_4 [/mm] = - [mm] \wurzel{-i} [/mm] =[mm] -e^{ \bruch{-\pi}{4}} [/mm]
Also musst du diese 4 Nullstellen zu [mm] \IQ [/mm] hinzuadjungieren. Jeweils 2 davon lassen sich durcheinander ausdrücken. Also musst du lediglich 2 hinzuadjungieren.
Das heißt dann, dein Zerfällungskörper ist
[mm] \IQ(e^{ \bruch{\pi}{4}},e^{ \bruch{-\pi}{4}})
[/mm]
Ich hoffe, ich habe mich nicht verrechnet.
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Hallo,
also, wenn man sich das Ganze mal in der Gauß'schen Zahlenebene anschaut, dann lassen sich die Nullstellen ablesen. Die Nullstellen von [mm] x^{4}+1 [/mm] in [mm] \IC [/mm] sind [mm] \bruch{\pm 1 \pm i}{\wurzel{2}}. [/mm] Den Zerfällungskörper erhält man durch Adjunktion der Nullstellen. Offenbar erhält man dann aber den Zerfällungskörper [mm] \IQ(i,\wurzel{2}). [/mm] Man könnte die Nullstellen auch anders angeben, z.B. durch [mm] \wurzel[4]{-1},-\wurzel[4]{-1},...! [/mm] Dies führt auf dasselbe!
Viele Grüße
Daniel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:54 Do 30.03.2006 | | Autor: | cycilia |
[mm] e^{ \bruch{\pi i}{4}} [/mm] = cos ( [mm] \bruch{\pi}{4}) [/mm] + i sin [mm] (\bruch{\pi}{4})
[/mm]
= [mm] \wurzel{2} [/mm] + i [mm] \wurzel{2}
[/mm]
=> da [mm] \wurzel{2} [/mm] und i nicht in [mm] \IQ [/mm] sind müssen diese hinzuadjungiert werden
Die erste Antwort war daher etwas unsauber.
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Hallo cyclia,
genau, sie war ja nicht falsch. Deshalb habe ich auch nichts dergleichen unternommen!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:50 Mo 03.04.2006 | | Autor: | cloe |
Hallo,
ich hätte da mal eine Frage zu der Aufgabe, die ihr besprochen habt.
Ist diese Schreibweise mit exp nur eine andere Möglichkeit den Zerfällungskörper zu bestimmen? Wir hatten diese Schreibweise nicht in der Vorlesung.
Wie würden die Zerfällungskörper von [mm] p(x)=x^3+2 [/mm] und [mm] q(x)=x^5+3 \in \IQ [/mm] aussehen?
mit der exp-Schreibweise wäre es doch wie folgt:
Zerfällungskörper von p(x) [mm] \IQ[\wurzel[3]{-2}, exp(2i\pi/2)]
[/mm]
Zerfällungskörper von q(x) [mm] \IQ[\wurzel[5]{-3}, exp(2i\pi/3)], [/mm] oder??
Danke im voraus!
cloe
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Hallo,
ja, das müsste auf den ersten Blick so stimmen. Ich verwende diese Schreibweise aber ungern. Sie ist für meine Begriffe ziemlich verwirrend. Prinzipiell sind das ja nur die n-ten Einheitswurzeln, die man eben so darstellen kann.
Viele Grüße
Daniel
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