Zentralisator charakteristisch < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hey, wenn G eine Gruppe ist und U eine Untergruppe von G, wie kann ich dann zeigen, dass der Zentralisator von U in G charakteristisch in G ist.
Also der Zentralisator ist doch: [mm] C_{g}(U)=\{g\in G:gu=ug \forall u\in U \} [/mm]
wie kann ich nun weiter vorgehen??
mfg piccolo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:44 Do 12.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Hey, wenn G eine Gruppe ist und U eine Untergruppe von G,
> wie kann ich dann zeigen, dass der Zentralisator von U in G
> charakteristisch in G ist.
Nun, dass dies eine Untergruppe ist weisst du ja schon. Also musst du noch zeigen: fuer jeden Automorphismus [mm] $\sigma [/mm] : G [mm] \to [/mm] G$ ist [mm] $\sigma(C_G(U)) [/mm] = [mm] C_G(U)$.
[/mm]
Allerdings hab ich da Zweifel. Eine charakteristische Untergruppe ist ja automatisch ein Normalteiler. Aber nicht jeder Zentralisator ist ein Normalteiler.
Hast du irgendeine Voraussetzung an $U$ vergessen?
LG Felix
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oh ja, sorry, U soll charakteristisch in G sein.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:44 Fr 13.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> oh ja, sorry, U soll charakteristisch in G sein.
Ja, damit geht es.
Fang doch einfach mal an loszurechnen: nimm dir einen Automorphismus [mm] $\sigma [/mm] : G [mm] \to [/mm] G$ und versuche zu zeigen, dass [mm] $\sigma(C_G(U)) \subseteq C_G(U)$ [/mm] ist (durch ersetzen von [mm] $\sigma$ [/mm] durch [mm] $\sigma^{-1}$ [/mm] und Anwenden von [mm] $\sigma$ [/mm] auf die entstehende Gleichung bekommst du auch die andere Inklusion).
Schreib doch mal auf wie weit du kommst.
LG Felix
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hey, ok danke, habs jetzt hinbekommen, is ja gar nicht so schwer, wenn man erstmal die Idee hat.
danke nochmals
mfg piccolo
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