Zentraler Differenzquotient < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Leiten Sie [mm] D^{2}_{h}f(x) [/mm] durch mehrmaliges Anwenden von [mm] D^{1}_{h}f(x) [/mm] her.
[mm] D^{1}_{h}f(x) [/mm] := [mm] \bruch{1}{2h} [/mm] (f(x+h) - f(x-h)) und
[mm] D^{2}_{h}f(x) [/mm] := [mm] \bruch{1}{h^{2}} [/mm] (f(x+h) - 2f(x) + f(x-h) |
Hallo zusammen,
leider fehlt mir jeglicher Ansatz zum Lösen dieser Aufgabe.
Kann man [mm] D^{1}_{h} [/mm] einfach in [mm] D^{1}_{h} [/mm] einsetzen? Wenn ja wie sähe dann ein Ansatz aus?
Danke für die Hilfe
Gruß
Jan
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
> Leiten Sie [mm]D^{2}_{h}f(x)[/mm] durch mehrmaliges Anwenden von
> [mm]D^{1}_{h}f(x)[/mm] her.
>
> [mm]D^{1}_{h}f(x)[/mm] := [mm]\bruch{1}{2h}[/mm] (f(x+h) - f(x-h)) und
>
> [mm]D^{2}_{h}f(x)[/mm] := [mm]\bruch{1}{h^{2}}[/mm] (f(x+h) - 2f(x) + f(x-h))
>
> Hallo zusammen,
>
> leider fehlt mir jeglicher Ansatz zum Lösen dieser
> Aufgabe.
> Kann man [mm]D^{1}_{h}[/mm] einfach in [mm]D^{1}_{h}[/mm] einsetzen? Wenn ja
> wie sähe dann ein Ansatz aus?
>
> Danke für die Hilfe
>
> Gruß
> Jan
Hallo Jan,
berechne zuerst $\ [mm] f_1(x+h):=\ D^{1}_{h}f(x+h)$ [/mm] und $\ [mm] f_1(x-h):=\ D^{1}_{h}f(x-h)$
[/mm]
Dann wendest du auf diese beiden Werte von [mm] f_1 [/mm] nochmals
den Operator [mm] D^1_h [/mm] an und erhältst den gesuchten Wert
$\ [mm] D^1_h f_1(x)\ [/mm] =\ [mm] f_2(x)\ [/mm] =\ [mm] D^2_h [/mm] f(x)$
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
Gut, danke so weit.
Habe nun für
[mm] D^{1}_hf(x+h) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2h}(f(x+2h)-f(x)) [/mm] und für
[mm] D^{1}_hf(x-h) [/mm] = [mm] \bruch{1}{2h}(f(x)-f(x-2h)) [/mm]
Stimmt das?
Was mich stört ist das +2h bzw. -2h in den Klammern und die Brüche.
|
|
|
| |
|
Hallo Jan
> Gut, danke so weit.
>
> Habe nun für
>
> [mm]D^{1}_hf(x+h)[/mm] = [mm]\bruch{1}{2h}(f(x+2h)-f(x))[/mm] und für
> [mm]D^{1}_hf(x-h)[/mm] = [mm]\bruch{1}{2h}(f(x)-f(x-2h))[/mm]
>
> Stimmt das?
Ja, das ist korrekt.
> Was mich stört ist das +2h bzw. -2h in den Klammern und
> die Brüche.
Vielleicht war mein Vorschlag:
berechne zuerst [mm] $\green{ f_1(x+h):=\ D^{1}_{h}f(x+h)}$ [/mm] und [mm] $\green{ f_1(x-h):=\ D^{1}_{h}f(x-h)}$
[/mm]
Dann wendest du auf diese beiden Werte von [mm] \green{f_1} [/mm] nochmals
den Operator [mm] \green{D^1_h} [/mm] an und erhältst den gesuchten Wert
[mm] $\green{ D^1_h f_1(x)\ =\ f_2(x)\ =\ D^2_h f(x)}$
[/mm]
nicht ganz optimal. Ich hätte auch vorschlagen können,
zuerst [mm] f_1(x+h/2) [/mm] und [mm] f_1(x-h/2) [/mm] zu berechnen.
Wenn wir aber jetzt schon mit der ersten Idee angefangen
haben, können wir auch dabei bleiben und dann den
Ausdruck [mm] 2\,h [/mm] durch $k$ (oder meinetwegen dann wieder
durch $h$ ) ersetzen.
LG Al-Chw.
|
|
|
|
