Zeitintervalle bestimmen < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:56 Mo 10.12.2012 | | Autor: | TioZ |
| Aufgabe | Ein quaderförmiges Wasserbecken mit 3m Länge, 2m Breite und 2m Höhe hat einen Wasserzulauf und einen Wasserablauf.
Die Funktion f(x) = [mm] 0,2*x^3-2,1*x^2+5*x [/mm] , 0<x<8,
beschreibt modellhaft die Änderungsrate der Wassermenge in diesem Becken.
Dabei werden x in Stunden und f(x) in Kubikmeter pro Stunde angegeben.
Zu Beginn ist das Becken leer.
a) Ermitteln Sie die maximale Wassermenge im Becken innerhalb des betrachteten Zeitintervalls von 8 Stunden
BEstimmen Sie den ersten Zeitpunkt, zu dem das Becken genau zur Hälfte mit Wasser gefüllt ist. |
Moin erst einmal,
um die maximale Wassermenge im Becken innerhalb der 8 Stunden zu bestimmen kann ich die Funktion doch einfach in mein Taschenrechner eingeben und das Integral von 0 - 8 berechnen lassen oder?
Dann würde bei mir 6,4 rauskommen.
Und leider weiß ich nicht wie ich den Zweiten Teil der AUfgabe lösen soll.
Würde mich über Tipps und Vorschläge freuen.
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Hallo,
> Ein quaderförmiges Wasserbecken mit 3m Länge, 2m Breite
> und 2m Höhe hat einen Wasserzulauf und einen
> Wasserablauf.
> Die Funktion f(x) = [mm]0,2*x^3-2,1*x^2+5*x[/mm] , 0<X<8,
> beschreibt modellhaft die Änderungsrate der Wassermenge
> in diesem Becken.
> Dabei werden x in Stunden und f(x) in Kubikmeter pro
> Stunde angegeben.
> Zu Beginn ist das Becken leer.
>
> a) Ermitteln Sie die maximale Wassermenge im Becken
> innerhalb des betrachteten Zeitintervalls von 8 Stunden
> BEstimmen Sie den ersten Zeitpunkt, zu dem das Becken
> genau zur Hälfte mit Wasser gefüllt ist.
> Moin erst einmal,
>
> um die maximale Wassermenge im Becken innerhalb der 8
> Stunden zu bestimmen kann ich die Funktion doch einfach in
> mein Taschenrechner eingeben und das Integral von 0 - 8
> berechnen lassen oder?
Nein, das ist hier schon falsch. Die im Becken enthaltene Wassermenge F wird beschrieben durch die Intergalfunktion
[mm]F(t)=\integral_{0}^{t}{f(x) dx}[/mm]
Mit ein wenig Nachdenken wirst du auch darauf kommen, was für die Funktion f(x) an einem Extremum der Funktion F(t) gelten muss.
> Dann würde bei mir 6,4 rauskommen.
Nein, das stimmt nicht. Und bei solchen Aufgaben kommt auch nicht nur eine Zahl heraus, sondern die hat dann eine Maßeinheit, spätestens im Antwortsatz. Sonst gibt das ggf. in Klausur und Prüfung deftig Abzug.
>
> Und leider weiß ich nicht wie ich den Zweiten Teil der
> AUfgabe lösen soll.
> Würde mich über Tipps und Vorschläge freuen.
Die Integralfunktion mit dem halben Beckenvolumen gleichsetzen und die entstandene Gleichung nach t lösen, wobei du hier, im Gegensatz zur Aufgabe a) auf den GTR angewiesen bist.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:25 Mo 10.12.2012 | | Autor: | TioZ |
Muss ich also für die erste Aufgabe die Stammfunktion/Aufleitung bilden?
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Hallo,
> Muss ich also für die erste Aufgabe die
> Stammfunktion/Aufleitung bilden?
was eine Aufleitung ist, will ich schon aus Prinzip nicht wissen. Dieser Begriff ist sprachlich gesehen ein absoluter Schmarrn, deshalb solltest du ihn dir gar nicht erst angewöhnen!
Zu deiner eigentlichen Frage: wie ich schon schrieb, es geht hier um eine Integralfunktion. Was weißt du darüber bzw. über den Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung (dieses Wissen wird hier vorausgesetzt, schlage es also nach, wenn dir daran etwas unklar sein sollte)?
Für die Aufgabe a) benötigt man - dieses Wissen vorausgesetzt - überhaupt kein Integral. Nochmal: was ist das notwendige Kriterium für (innere) Extrema und welches ist die Ableitung der Funktion F(t), die den Füllstand des Beckens beschreibt?
Für die Aufgabe b) jedoch benötigt man die angegebene Integralfunktion (und damit beim händischen Rechnen auch eine Stammfunktion). Da beim Gleichsetzen mit dem halben Beckenvolumen jedoch in diesem Fall eine Gleichung 4. Ordnung resultieren würde, denke ich mal, dass die Aufgabe zur Bearbeitung mit dem GTR gedacht ist.
Es ist dann aber auch an dir, anzugeben, welches GTR-Modell du verwendest bzw. nachzuschlagen, ob und wie man Integralfunktionen realisieren kann. Bei TI-Rechnern geht dies generell unter Verwendung der fnInt-Funktion. Bei Casio geht es bei neueren Modellen auch irgendwie, aber die kenne ich nicht so gut, ebenso ist es bei Sharp.
Zwei Dinge würde ich dir gerne ans Herz legen:
- Bereite deine Fragen gründlicher vor.
- Bedenke, dass die Antworten in einem Matheforum nicht das Erlernen und das Verstehen von Stoff ersetzen können. Mir scheint, dass du eklatante Lücken auf dem Gebiet der Integralrechnung hast, denn diese Aufgabe ist eigentlich ziemlich elementar. Von daher würdest du dir selbst einen Gefallen tun, wenn du erst einmal die Grundlagen der Integralrechnung nochmals durcharbeitest. Sonst wird das bei jeder solchen Aufgabe eine ellenlange Quälerei, während es doch eigentlich ein Drei- Vierzeiler sein sollte und man mit GTR bewaffnet in spätestens 5 Minuten fertig ist.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:17 Mo 10.12.2012 | | Autor: | TioZ |
Die Ableitung von f(x) ist
f'(x) = [mm] 0,6x^2 [/mm] - 4,2x + 5
Aber was sagt mir das in BEzug zur Aufgabe ?
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Hallo TioZ,
du musst schon die Antworten richtig durchlesen. Ich habe nirgends davon geschrieben, die Funktion f(x) abzuleiten. Ich wollte dich lediglich darauf aufmerksam machen, dass f(x) die erste Ableitung der Integralfunktion F(t) ist, die ich weiter oben definiert habe.
Ergo muss dort, wo diese Integralfunktion und damit der Füllstand im Becken ein Maximum besitzt, für f(x) wohl was gelten?
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:54 Mo 10.12.2012 | | Autor: | TioZ |
In dem Zeitpunkt, in dem F(x) ein Maximum hat ist bei f(x) ein Wendepunkt zu erkennen, also nimmt ab diesen Zeitpunkt das Wasser wieder ab.
das Maximum von F(x) liegt ja bei [mm] 8,06m^3 [/mm] , wenn das Becken bis zur Hälfte gefüllt sein soll muss der Wasserstand bei [mm] 4,03m^3 [/mm] liegen. Das wäre dann ungefähr nach 1,65 Stunden. Wenn ich das so im Taschenrechner in der Tabelle nachschaue.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:04 Mo 10.12.2012 | | Autor: | TioZ |
Und um die maximale Wassermenge im BEcken innerhalb Zeitintervalls von 8 STunden ermitteln will kann ich dann mit F(x) das Integral von 0 bis 8 berechnen?
Wäre bei mir [mm] 37,5m^3
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:25 Mo 10.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. sag deinem Lehrer, er soll aufgaben gescheiter einkleiden! so kann wasser nicht zu und ablaufen es sei denn man hat einen empfindlichen Höhensensor und eine elektronische regelung des zu nd ablaufs! Dein L. ist sicher ohne Physikkenntnisse.
aber tun wir so, als gäb es diese Funktion.
Dann solltest du denken: entweder ist die funktion f(x) immer positiv, dann wächst das Volumen kontinuierlich und erreicht sein maximum nach 8 stunden. oder, und das ist hier der Fall f(x) wechselt im verlauf der 8 Stunden sein vorzeichen, dann läuft mehr ab als zu. Das max ist also erreicht, wenn f(x)=0 und danach negativ ist.
Man kann auch erst das Integral bilden, dann kennt man
[mm] F(t)=\integral_{0}^{t}{f(x) dx}
[/mm]
um davon das max zu finden muss man F' bilden und 0 setzen, aber F' kennt man schon, das ist f!
dann kennst du die Zeit , um den Wert zu finden musst du von 0 bis zu der Zeit integrieren,
gruss leduart
Dein Integralwert ist falsch! richtig ist
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:34 Mo 10.12.2012 | | Autor: | TioZ |
Das wenn f(x)=0 ist, dass dann das Maximum erreicht ist habe ich verstanden.
Ich habe das jetzt mit dem Taschenrechner so gemacht:
Wo f(x)=0 ist, da ist x=3,7
dann habe ich das Integral, also den Flächeninhalt unter dem Graphen bis 3,7 berechnet. Das wären bei mir [mm] 16,34m^3
[/mm]
Aber ich muss ja wissen, wann das BEcken genau zur Hälfte mit Wasser gefüllt ist. Wenn das Becken nach 3,7 Stunden voll ist, ist es dann nach 1,85 Stunden halb voll?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:49 Mo 10.12.2012 | | Autor: | leduart |
hallo
da die maße des Beckens angegeben sind weisst du, wann es halvoll ist.
du integrierst von 0 bis zu einer unbekannten Zeit [mm] t_h, [/mm] das integral muss dann 6 [mm] (m^3) [/mm] sein, das halbe Volumen von [mm] 3*2*2m^3
[/mm]
du solltest aufgaben genauer lesen! da stand nichts von der Hälfte des Maximums, sondern halbvoll! Außerdem hilft oft, nachzusehen, ob man alle Informationen auch benutzt hat!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:59 Mo 10.12.2012 | | Autor: | TioZ |
Auf diese Angaben habe ich überhaupt nicht geachtet.
Dann wäre das Becken nach ca 2,3 Stunden zur Hälfte gefüllt.
Und wenn ich jetzt die maximale Wassermenge im Becken innerhalb der 8 Stunden ermitteln soll kann ich dann einfach das Integral von F(x) von 0 - 8 berechnen, sodass da eine Wassermenge von [mm] 37,5m^3 [/mm] heraus kommt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:31 Mo 10.12.2012 | | Autor: | leduart |
hallo
1.du hast gesagt, du hast verstanden, wie man das max findet, mit f=0 und den Wert des integrals bis dahin.
2. dann kann immer noch der Wert bei 8 größer sein, das muss er aber auch,
dass die 37.5 falsch sind, ist schon deshalb klar dass das Becken ja kleiner als [mm] 37m^3 [/mm] ist.
ich hatte schon gesagt, dass dein Integral bis 8 falsch ist.
was hattest du denn für einen Wert für das max bei f=0
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:38 Mo 10.12.2012 | | Autor: | TioZ |
Ist die erste Aufgabe denn soweit richtig? Also den Zeitpunkt zu bestimmen, wenn das Becken zur Hälfte gefüllt ist.
das Maximum ist erreicht bei x=3,6.
Ich glaube ich habe die Aufgabe falsch verstanden. SOll man den Zeitpunkt suchen, wo die Wassermenge maximal ist?
Das wäre dann [mm] 8,1m^3
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:19 Di 11.12.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
da stand doch: Ermitteln Sie die maximale Wassermenge im Becken innerhalb des betrachteten Zeitintervalls von 8 Stunden.
Wie interpretierst du denn diesen Satz?
Offensichtlich hast du Schwierigkeiten Texte genau zu lesen!
Nimm dir dafür am Anfang genug Zeit, genau zu überlegen, was die Fragen sind. Erst dann die Fragen angehen!
Du musst trotzdem noch bis 8 integrieren, es ist ja nicht ausgeschlossen, dass am Ende mehr als die [mm] 8.11m^3 [/mm] drin sind. dann würde man das ein Randmax nennen. also musst du den Wert auch bestimmen (er ist kleiner als 8.
das max bei 3.65 und 8.11, und die Hälfte bei etwa 2.3 Stunden sind richtig.
rechnest du immer nur mit 1 Stelle hinter dem Komma?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:26 Di 11.12.2012 | | Autor: | TioZ |
Erst einmal danke für deine Hilfe.
Das hatte ich auch schon kontrolliert ob die Wassermenge in der 8. Stunde größer als 8,11 ist.
Mit den Kommastellen ist es bei mir immer unterschiedlich.
Mit wie vielen Kommastellen sollte man denn rechnen?
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