Zeigen, dass Verknüpfung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
es sei (H, [mm] \circ) [/mm] eine kommutative Halbgruppe mit neutralem Element e. In H gelte die "Kürzungsregel", d.h für alle x, y, z [mm] \in [/mm] H mit x [mm] \circ [/mm] z = y [mm] \circ [/mm] z gilt x = y. Zeigen Sie:
Auf G := (H x [mm] H)/_{\sim} [/mm] wird durch
[mm] [(x_{1}, y_{1})]_{\sim} \* [(x_{2}, y_{2})]_{\sim} [/mm] := [mm] [(x_{1} \circ x_{2}, y_{1} \circ y_{2})]_{\sim}
[/mm]
eine Verknüpfung * definiert.
Wie löst man das? Mir fehlt da schon der Ansatz...
Ich muss doch eigentlich nur zeigen, dass eine Abbildung existiert, die wie folgt aussieht:
[mm] \* [/mm] : H x H [mm] \to [/mm] H
[mm] ([(x_{1}, y_{1})]_{\sim}, [(x_{2}, y_{2})]_{\sim}) \mapsto [(x_{1} \circ x_{2}, y_{1} \circ y_{2})]_{\sim}
[/mm]
Oder?
Und weiter?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:57 Sa 10.11.2007 | | Autor: | Sax |
Hi,
Es soll doch gezeigt werden, dass auf der Menge der Äquivalenzklassen durch die Definition eine Verknüpfung definiert wird. Dazu ist nachzuweisen, dass das Ergebnis (die Äquivalenzklasse auf der rechten Seite der Definition) unabhängig ist von der Wahl der Repräsentanten der Äquivalenzklassen auf der linken Seite der Definition).
Also (mit sehr willkürlich gewählten Bezeichnungen für die Repräsentanten) :
Wenn A zu a und B zu b äquivalent sind, so ist zu zeigen, dass dann auch A*B zu a*b äquivalent ist.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:08 Sa 10.11.2007 | | Autor: | Sax |
Hi,
Ich muss meine letzte Formulierung etwas verbessern :
Wenn [A]~ = [a]~ und [B]~ = [b]~ , so ist zu zeigen, dass
[A]~ *[B]~ = [a]~ *[b]~
(weil nämlich * eine Verknüpfung auf der Menge der Äquivalenzklassen und nicht eine auf der Menge der Repräsentanten sein soll.)
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Und wie zeigt man sowas am besten bzw. überhaupt? Muss man sich da das Untergruppenkriterium zu Eigen machen?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Di 13.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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