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Hallo,
diesmal hab ich gleich 2 Problemchen, die aber in die gleiche Kategorie fallen.
Kann mir einer den Lösungsweg erklären, wie ich zeigen kann, dass für alle b, x, y [mm] \in \IR [/mm] mit 0 < x < y und b < 0 gilt:
1) [mm] \bruch{x}{b + x} [/mm] < [mm] \bruch{y}{b + y}
[/mm]
Ich vermute, dass man irgendwie starten muss mit
x < y [mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] \bruch{1}{x} [/mm] > [mm] \bruch{1}{y}
[/mm]
[mm] \bruch{y}{b + x} [/mm] > [mm] \bruch{y}{b + y}
[/mm]
[mm] \bruch{x}{b + y} [/mm] < [mm] \bruch{x}{b + x}
[/mm]
[mm] \bruch{x}{y} [/mm] < [mm] \bruch{y}{x}
[/mm]
b + x < b + y
Aber irgendwie weiß ich nicht, was ich daraus weiterhin schlussfolgern kann.
2) [mm] \bruch{a * 2^{-n}}{a * 2^{-n} + b} \le \bruch{a}{b} 2^{-n}
[/mm]
Danke und Gruß
Martin
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:54 Di 12.12.2017 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> diesmal hab ich gleich 2 Problemchen, die aber in die
> gleiche Kategorie fallen.
> Kann mir einer den Lösungsweg erklären, wie ich zeigen
> kann, dass für alle b, x, y [mm]\in \IR[/mm] mit 0 < x < y und b <
> 0 gilt:
>
> 1) [mm]\bruch{x}{b + x}[/mm] < [mm]\bruch{y}{b + y}[/mm]
Für b<0 ist dies i.a. falsch ! Beispiel: b=-1, x=2,y=3.
Ist b>0, so stimmts:
[mm]\bruch{x}{b + x}[/mm] < [mm]\bruch{y}{b + y}[/mm] [mm] \gdw [/mm] bx+xy <by+xy [mm] \gdw [/mm] bx<by.
>
> Ich vermute, dass man irgendwie starten muss mit
>
> x < y [mm]\Rightarrow[/mm]
> [mm]\bruch{1}{x}[/mm] > [mm]\bruch{1}{y}[/mm]
> [mm]\bruch{y}{b + x}[/mm] > [mm]\bruch{y}{b + y}[/mm]
> [mm]\bruch{x}{b + y}[/mm] <
> [mm]\bruch{x}{b + x}[/mm]
> [mm]\bruch{x}{y}[/mm] < [mm]\bruch{y}{x}[/mm]
> b + x < b + y
>
> Aber irgendwie weiß ich nicht, was ich daraus weiterhin
> schlussfolgern kann.
>
> 2) [mm]\bruch{a * 2^{-n}}{a * 2^{-n} + b} \le \bruch{a}{b} 2^{-n}[/mm]
Was ist hier über a und b vorausgesetzt ?
>
> Danke und Gruß
> Martin
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:14 Di 12.12.2017 | | Autor: | sancho1980 |
Sorry, bei 1) ist mir ein Tippfehler unterlaufen. Es muss heißen b > 0
Bei 2 hab ich die Annahmen vergessen:
a, b, n [mm] \in \IN
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:30 Di 12.12.2017 | | Autor: | fred97 |
Zu 2): für x,y,z >0 gilt
[mm] \frac{x}{y+z} <\frac{x}{y}
[/mm]
"Man vergrößert einen Bruch, indem man den Nenner verkleinert."
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> Ist b>0, so stimmts:
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> [mm]\bruch{x}{b + x}[/mm] < [mm]\bruch{y}{b + y}[/mm] [mm]\gdw[/mm] bx+xy <by+xy [mm]\gdw[/mm]
> bx<by.
Kannst du das noch ein Bisschen ausführen? Ich versteh's nicht ...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:15 Di 12.12.2017 | | Autor: | fred97 |
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> > Ist b>0, so stimmts:
> >
> > [mm]\bruch{x}{b + x}[/mm] < [mm]\bruch{y}{b + y}[/mm] [mm]\gdw[/mm] bx+xy <by+xy [mm]\gdw[/mm]
> > bx<by.
>
> Kannst du das noch ein Bisschen ausführen? Ich versteh's
> nicht ...
Die Ungleichung [mm]\bruch{x}{b + x}[/mm] < [mm]\bruch{y}{b + y}[/mm] muktiplizieren wir erst mit b+x durch und dann mit b+y.
Dann erhalten wir bx+xy <by+xy
kommst Du nun klar ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:11 Di 12.12.2017 | | Autor: | sancho1980 |
Ja dankeschön 
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Hallo,
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> 2) [mm]\bruch{a * 2^{-n}}{a * 2^{-n} + b} \le \bruch{a}{b} 2^{-n}[/mm]
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Ok, ich verwende deinen Hinweis, dass a, b, und n natürliche Zahlen sein sollen.
Dann geht das hier kinderleicht. Multipliziere die Ungleichung einmal mit [mm] 2^n [/mm] durch und der Beweis der Ungleichung steht so gut wie da.
Gruß, Diophant
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