Zeigen Sie (a,b) = R < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es seien a,b [mm] \in \IR [/mm] mit a < b
Zeigen Sie: |(a,b)| = [mm] |\IR| [/mm] |
Hallo zusammen!
Ich wollte mich mal an die letzte, noch zu erledigende Aufgabe meines Übungsblattes machen, aber ich habe leider gar keinen Ansatz.
Wie zeigt man sowas?
Habe ich eine richtige Vorstellung von dem Tupel (a,b). Sind dies nicht einfach Repräsentant der Mengen $X$ und $Y$ [mm] \subseteq \IR, [/mm] wobei $(a,b)$ [mm] \in [/mm] $X$ [mm] \times$Y$ [/mm] = [mm] \IR^2
[/mm]
Vielen lieben Dank schon einmal!
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Hiho,
ich wage zu bezweifeln, dass mit (a,b) ein Tupel gemeint ist.
Eher gehe ich davon aus, dass das offene Intervall von a bis b gemeint ist.
Und du sollst nun zeigen, dass also jedes Intervall (a,b) gleichmächtig zu den reellen Zahlen ist.
Gruß,
Gono
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Ahhhhhh.. ja das macht durchaus Sinn!! Danke, ups :D
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:18 Do 28.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es seien a,b [mm]\in \IR[/mm] mit a < b
> Zeigen Sie: |(a,b)| = [mm]|\IR|[/mm]
> Hallo zusammen!
>
> Ich wollte mich mal an die letzte, noch zu erledigende
> Aufgabe meines Übungsblattes machen, aber ich habe leider
> gar keinen Ansatz.
>
> Wie zeigt man sowas?
> Habe ich eine richtige Vorstellung von dem Tupel (a,b).
> Sind dies nicht einfach Repräsentant der Mengen [mm]X[/mm] und [mm]Y[/mm]
> [mm]\subseteq \IR,[/mm] wobei [mm](a,b)[/mm] [mm]\in[/mm] [mm]X[/mm] [mm]\times[/mm] [mm]Y[/mm] = [mm]\IR^2[/mm]
>
> Vielen lieben Dank schon einmal!
Gono hat Dir ja schon erklärt, was Deine eigentliche Aufgabe ist.
Tipp: Dass [mm] $(a,b)\,$ [/mm] gleichmächtig zu $(c,d)$ ($c < [mm] d\,$ [/mm] beide reell) ist, zeigt die Funktion
$g [mm] \colon [/mm] (a,b) [mm] \to [/mm] (c,d)$
mit [mm] $g(x):=c+(x-a)*\frac{d-c}{b-a}\,.$
[/mm]
Zeige: [mm] $\left\{c+(x-a)*\frac{d-c}{b-a}:\;\; a < x < b\right\}\subseteq [/mm] (c,d)$
(ich darf eigentlich deswegen auch $f [mm] \colon [/mm] (a,b) [mm] \red{\,\to (c,d)}$ [/mm] überhaupt mal hinschreiben)
und, dass [mm] $g\,$ [/mm] bijektiv ist.
(Schulaufgabe: Skizziere den Graphen von [mm] $g\,$! [/mm] Beachte: Der Graph ist eine
"Strecke des [mm] $\IR^2$ [/mm] OHNE Endpunkte"!)
Damit kannst Du Deine Aufgabe auf den Fall beschränken, etwa eine bijektive
Abbildung [mm] $(-\pi/2,\;\pi/2) \to \IR$ ($c:=-\pi/2$, $d:=\pi/2$) [/mm] anzugeben. Nun schau' mal in
die *Standards* von trigonometrischen Funktionen...
P.S. Alternativ: Gib' mit den obigen Überlegungen direkt eine Verkettung für
eine Bijektion $(a,b) [mm] \to \IR$ [/mm] an!
P.P.S Nochmals betont: [mm] $(a,b)=\,]a,\,b[\,=\{r \in \IR \mid \; a < r < b\}$.
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:26 Do 28.05.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
übrigens, was man auch machen kann: Wie oben erklärt reicht es auch, eine
bijektive Funktion
$f [mm] \colon [/mm] (0,1) [mm] \to \IR$
[/mm]
anzugeben. Wir setzen für $x [mm] \in [/mm] (0,1/2]$ nun
[mm] $f(x):=1/x\,.$
[/mm]
Weil [mm] $f(1/2)=2\,$ [/mm] ist: ergänze diese Funktion punktsymmetrisch zum Punkte
[mm] $(1/2;\,2)$ [/mm] (das ist nun wirklich als [mm] $\IR^2$-Element [/mm] gemeint).
D.h.:
[mm] $f(x):=\begin{cases} 1/x, & \mbox{für } 0 < x \le 1/2 \\ \red{\textbf{?}}, & \mbox{für } 1/2 < x < 1 \end{cases}$
[/mm]
Ergänze dabei [mm] $\red{\textbf{?}}$ [/mm] (Hinweis: Der Teil von [mm] $f\,$, [/mm] der schon definiert ist, kann dabei
verwendet werden!)
Oder schau mal hier:
![[]](/images/popup.gif) http://www.matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=3330&ref=http%3A%2F%2Fwww.google.de%2Furl%3Fsa%3Dt%26rct%3Dj%26q%3D%26esrc%3Ds%26source%3Dweb%26cd%3D1%26ved%3D0CCIQFjAA
Gruß,
Marcel
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Vielen lieben Dank soweit! Ich habe es bis jetzt nur überflogen, da ich auf dem Sprung bin. Ich denke damit kann ich ganz gut arbeiten. Werde die Aufgabe am Wochenende bearbeiten, falls noch Unklarheiten sind melde ich mich nochmal. Schönen Tag!
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