Zeige: sup B = inf A < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:10 Sa 12.11.2011 | | Autor: | adamkon |
| Aufgabe | Hallo,
ich soll beweisen dass sup B = inf A ist, wobei B als die Menge der unteren Schranken für A definiert ist. |
Also Definition infimum A:
1. Es gibt ein c Element von R (reelle Zahlen) für das gilt, c < x für alle x Element von R.
2. sei b eine untere Schranke von A, so gilt b =< c.
Da B die menge der unteren schranken ist kann man dies umschreiben:
1. c ist element von B, für das gilt y < c für alle y element von B
so 1. ist ja schon gleich der definiton von dem supremum von B, jedoch krieg ich die 2. Bedingung nicht umgeformt. Ich hoffe ihr könnt mir helfen.
Danke, Leni
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=472961
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Hallo!
> Hallo,
> ich soll beweisen dass sup B = inf A ist, wobei B als die
> Menge der unteren Schranken für A definiert ist.
> Also Definition infimum A:
>
> 1. Es gibt ein c Element von R (reelle Zahlen) für das
> gilt, c [mm] \red{<} [/mm] x für alle x Element von [mm] \red{R}. [/mm]
Statt [mm] \red{R} [/mm] sollte aber eher A hier stehen!
Und statt [mm] \red{<} [/mm] eher [mm] \le.
[/mm]
> 2. sei b eine untere Schranke von A, so gilt b =< c.
[Wir gehen von folgenden Definitionen von Infimum und Supremum aus:
- [mm]x[/mm] ist untere/obere Schranke von [mm]A[/mm], falls [mm]x \le a[/mm] / [mm]x \ge a[/mm] für alle [mm]a\in A[/mm].
- Es ist [mm]x = inf(A)[/mm] [mm]\gdw[/mm] x ist untere Schranke von A und für jede untere Schranke [mm]x'[/mm] von [mm]A[/mm] gilt: [mm]x' \le x[/mm].]
In der Aufgabenstellung ist gegeben: $B = [mm] \{b\in \IR: b \le a \forall a \in A\}$
[/mm]
Für den Beweis der Gleichheit [mm] $\sup(B) [/mm] = [mm] \inf(A)$ [/mm] genügt es also zu zeigen, dass [mm] $\sup(B)$ [/mm] die Eigenschaften eines Infimums von $A$ erfüllt. Du hast also zwei was zu zeigen:
1) [mm] $\sup(B) \le [/mm] a$ für alle [mm] $a\in [/mm] A$.
2) Ist $x$ eine untere Schranke von $A$, so folgt $x [mm] \le \sup(B)$.
[/mm]
--> Zunächst versuchen wir 1):
Sei also [mm] $a\in [/mm] A$ beliebig. Zu zeigen ist [mm] $\sup(B) \le [/mm] a$.
[Um das zeigen zu können, brauchen wir die Eigenschaften des Supremums:
- Es gilt $b [mm] \le \sup(B)$ [/mm] für alle [mm] $b\in [/mm] B$.
- Ist $x$ eine obere Schranke von $B$, so gilt [mm] $\sup(B)\le [/mm] x$.
Wie du siehst, bringt uns nur der zweite Punkte etwas.]
Wir zeigen nun, dass $a$ eine obere Schranke von $B$ ist. Sei also [mm] $b\in [/mm] B$ beliebig. Dann gilt nach Definition von $B$: [mm] b\le [/mm] a. Also ist $a$ obere Schranke von $B$. Also ist nach Definition des Supremums [mm] $\sup(B) \le [/mm] a$.
[Diese Schritte sind alle elementar, aber es wichtig, dass du dir das Vorgehen klar machst!]
--> Nun zu 2):
Sei $x$ eine untere Schranke von $A$. Zu zeigen ist $x [mm] \le \sup(B)$.
[/mm]
[Wie du oben an den Eigenschaften des Supremums siehst, müssen wir dieses Mal den ersten Anstrich verwenden...]
Jetzt du 
Grüße,
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:41 Sa 12.11.2011 | | Autor: | adamkon |
Also, ich muss jetzt beweisen dass x = inf (A) <= sup B ist.
Da x Inf (A) gilt x<= a, außerdem wie vorher bewiesen gilt sup (B) <= a.
Kann man daraus nun folgern
sup B = x = inf A
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Hallo,
> Also, ich muss jetzt beweisen dass x = inf (A) <= sup B
> ist.
Nein, nicht x = inf(A), sondern x ist eine untere Schranke von A!
Das bedeutet $x [mm] \in [/mm] B$ (B ist die Menge der unteren Schranken von A).
Und damit ist $x [mm] \le \sup(B)$ [/mm] nach Definition des Supremums.
Grüße,
Stefan
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:20 Mo 14.11.2011 | | Autor: | adamkon |
> Hallo,
>
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> > Also, ich muss jetzt beweisen dass x = inf (A) <= sup B
> > ist.
>
> Nein, nicht x = inf(A), sondern x ist eine untere Schranke
> von A!
> Das bedeutet [mm]x \in B[/mm] (B ist die Menge der unteren
> Schranken von A).
> Und damit ist [mm]x \le \sup(B)[/mm] nach Definition des
> Supremums.
>
> Grüße,
> Stefan
Ja aber dann hab ich doch nur beweisen dass inf a [mm] \le [/mm] sup b und nicht inf a = sup b
oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 Di 15.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo,
> > Hallo,
> >
> >
> > > Also, ich muss jetzt beweisen dass x = inf (A) <= sup B
> > > ist.
> >
> > Nein, nicht x = inf(A), sondern x ist eine untere Schranke
> > von A!
> > Das bedeutet [mm]x \in B[/mm] (B ist die Menge der unteren
> > Schranken von A).
> > Und damit ist [mm]x \le \sup(B)[/mm] nach Definition des
> > Supremums.
> >
> > Grüße,
> > Stefan
>
>
> Ja aber dann hab ich doch nur beweisen dass inf a [mm]\le[/mm] sup b
> und nicht inf a = sup b
> oder?
Schau dir nochmal den ersten Post von mir an. Dort habe ich geschrieben (mit 1) und 2)...) was zu zeigen ist. Und das beides haben wir nun nachgerechnet.
Grüße,
Stefan
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