Zeige, X ist Markov-Kette < stoch. Prozesse < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:43 Fr 08.04.2011 | | Autor: | Druss |
| Aufgabe | Sei [mm] (Y_n)_{n\in\IN} [/mm] eine iid verteilte Zufallsvariable auf dem Wahrscheinlichkeitsraum [mm] (\Omega^{\infty}, P^{\otimes\infty}) [/mm] mit [mm] Y(\Omega) [/mm] = [mm] \{1,2\}. [/mm] Die Zufallsvariable [mm] (X_n)_{n\in\IN} [/mm] sei definiert als
[mm] X_n(\omega) [/mm] := [mm] 2Y_n(\omega) [/mm] + [mm] Y_{n+1}(\omega) \hspace{3ex}\forall \omega\in\Omega^\infty [/mm] , [mm] \forall n\in\IN.
[/mm]
Zeige, dass X eine Markov-Kette ist. |
Hallo,
In der Vorlesung haben wir ein einfaches Beispiel besprochen [mm] (X_n(\omega) [/mm] := [mm] \sum\limits^n_{i=1} Y_i(\omega)) [/mm] um die Markov Eigenschaft
[mm] P(X_{n+1} [/mm] = [mm] i_{n+1} [/mm] | [mm] X_n [/mm] = [mm] i_n,....,X_o [/mm] = [mm] i_o) [/mm] = [mm] P(X_{n+1} [/mm] = [mm] i_{n+1} [/mm] | [mm] X_n [/mm] = [mm] i_n)
[/mm]
zu zeigen. Kurz, dass die Zukunft nur von der Gegenwart und nicht von der Vergangenheit abhängig ist.
Ich bin relativ neu in der Materie und denke, dass ich nun ebenfalls zeigen muss, dass meine Zufallsvariable X diese Eigenschaft erfüllt.
Gibt es um zu zeigen, dass X eine Markov-Kette ist noch weitere Eigenschaften zu prüfen?
Ich komme dabei jedoch nicht so recht weiter, da wenn ich annehme, dass
[mm] P(X_{n+1}=i_{n+1}, X_n=i_n,...,X_0=i_0)>0 [/mm] annehme, schreiben kann
[mm] P(X_{n+1}=i_{n+1} [/mm] | [mm] X_n=i_n,...,X_0=i_0)
[/mm]
[mm] P(2Y_{n+1}+Y_{n+2}=i_{n+1} [/mm] | [mm] 2Y_{n}+Y_{n+1}=i_n,...,2Y_{0}+Y_{1}=i_0)
[/mm]
Nun weiß ich schon nicht weiter...
In dem in der Vorlesung besprochenen Beispiel war alles (wie immer bei Beispielen in der Vorlesung) alles sehr einfach, da
[mm] P(X_{n+1}=i_{n+1} [/mm] | [mm] X_n=i_n,...,X_0=i_0)
[/mm]
[mm] P(\sum\limits^{n+1}_{i=1}Y_i=i_{n+1} [/mm] | [mm] \sum\limits^{n}_{i=1}=i_n ,...,Y_1=i_1)
[/mm]
[mm] P(Y_{n+1}+\sum\limits^{n}_{i=1}Y_i=i_{n+1} [/mm] | [mm] \sum\limits^{n}_{i=1}Y_i=i_n,...,Y_1=i_1)
[/mm]
[mm] P(Y_{n+1}+i_n=i_{n+1} [/mm] | [mm] \sum\limits^{n}_{i=1}Y_i=i_n,...,Y_1=i_1)
[/mm]
[mm] P(Y_{n+1}=i_{n+1}-i_n [/mm] | [mm] \sum\limits^{n}_{i=1}Y_i=i_n,...,Y_1=i_1)
[/mm]
[mm] P(Y_{n+1}=i_{n+1}-i_n)
[/mm]
schreiben konnte, da der linke Teil nicht mehr von [mm] Y_n,...,Y_1 [/mm] abhängig ist.
Bei diesem Beispiel klappt das irgendwie nicht....
Gruesse
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Welche Werte kann X denn annehmen?
Wenn wir [mm] X_{n} [/mm] kennen , kennst du dann auch [mm] Y_{n} [/mm] und [mm] Y_{n+1}?
[/mm]
Was wissen wir dann über [mm] X_{n+1} [/mm] bzw seiner abhängigkeit?
Und was können wir dann für [mm] X_{1}....X_{n-1} [/mm] folgern?
Vielleicht hilft dir dieses ja.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:15 So 10.04.2011 | | Autor: | Blech |
Hi,
die möglichen Werte, die [mm] $Y_i$ [/mm] annehmen kann, sind hier entscheidend.
[mm] $X_i\in\{3,4,5,6\}$, [/mm] was sagen uns die einzelnen Werte über [mm] $Y_i$ [/mm] und [mm] $Y_{i+1}$?
[/mm]
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:40 Di 12.04.2011 | | Autor: | Druss |
[mm] Y_i [/mm] selbst kann nur Werte [mm] \in\{0,1\} [/mm] annehmen.
Für [mm] X_i [/mm] wie schon angemerkt gibt es 4 Möglichkeiten:
[mm] Y_n [/mm] = 1 & [mm] Y_{n+1} [/mm] = 1 draus folgt, dass [mm] X_n=3
[/mm]
[mm] Y_n [/mm] = 1 & [mm] Y_{n+1} [/mm] = 2 draus folgt, dass [mm] X_n=4
[/mm]
[mm] Y_n [/mm] = 2 & [mm] Y_{n+1} [/mm] = 1 draus folgt, dass [mm] X_n=5
[/mm]
[mm] Y_n [/mm] = 2 & [mm] Y_{n+1} [/mm] = 2 draus folgt, dass [mm] X_n=6
[/mm]
Daraus kann man auch schon die Matrix der Übergangswahrscheinlichkeiten konstruieren:
[mm] \pmat{ 0.5 & 0.5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0.5 & 0.5 \\ 0.5 & 0.5 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0.5 & 0.5}
[/mm]
Alleine bei der Konstruktion der Matrix sieht man, dass es sich bei [mm] (X_n)_{n\in\IN} [/mm] um eine Markov-Kette handelt. Mein Problem ist nur wie ich sauber aufschreibe, dass es sich um eine Markov-Kette handelt bzw. die Markov-Eigenschaft prüfe. Kann ich das nicht so wie ich oben beschrieben habe machen?
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Naja was soll man hier so sauber aufschreiben.
Argumentativ ist es doch klar , das wenn [mm] X_{n} [/mm] bekannt ist , so sind es doch auch [mm] Y_{n} [/mm] und [mm] Y_{n+1}. [/mm] Wenn wir nun [mm] X_{n+1} [/mm] haben , so ist dieses doch nur noch von [mm] Y_{n+2} [/mm] abhängig , weil wir [mm] Y_{n+1} [/mm] ja schon kennen. Und [mm] X_{0},.....,X_{n-1} [/mm] sind logischerweise von [mm] Y_{n+2} [/mm] unabhängig. Dieses ist doch die nachweisbare Eigenschaft.
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