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Hallo ich habe eine Frage zu dem Beweisanfang von Unagbhänigkeit des Stichprobenmittels und der Stichprobenvarianz.
Sei $ [mm] (X_1,\ldots,X_n)$ [/mm] eine normalverteilte Zufallsstichprobe mit $ [mm] X_i\sim$ [/mm] N $ [mm] (\mu,\sigma^2)$. [/mm] Dann sind $ [mm] \overline X_n$ [/mm] und $ [mm] S_n^2$ [/mm] unabhängige Zufallsvariablen.
Ich fang ja so an.
Beweis
* Zur Erinnerung: Mit der Schreibweise $ [mm] X_i^\prime [/mm] = [mm] X_i-\mu$ [/mm] gilt
[mm] $\displaystyle \overline X_n=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i^\prime+\mu$ und$\displaystyle \qquad S_n^2=\frac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^n (X_i^\prime-\overline{X_n^\prime})^2\,.$
[/mm]
Jetzt soll aus folgendem Satz der in etwa so geht folgen dass man oBdA annehmen kann dass dass $ [mm] \mu=0$ [/mm] und $ [mm] \sigma^2=1$, [/mm] d.h. $ [mm] X_i\sim$ [/mm] N$ (0,1)$
Satz:Die Zufallsvektoren $ [mm] X_1:\Omega\to\mathbb{R}^{m_1},\ldots,X_n:\Omega\to\mathbb{R}^{m_n}$ [/mm] seien unabhängig. Für beliebige Borel-messbare Funktionen $ [mm] \varphi_1:\mathbb{R}^{m_1}\to\mathbb{R}^{m_1^\prime},\ldots,\varphi_n:\mathbb{R}^{m_n}\to\mathbb{R}^{m_n^\prime}$ [/mm] sind die Zufallsvektoren $ [mm] \varphi_1(X_1),\ldots,\varphi_n(X_n)$ [/mm] dann auch unabhängig.
Jetzt versteh ich da den Zusammenhang irgendwie nicht. Warum kann man jetzt aus diesem Satz annehmen dass $ [mm] \mu=0$ [/mm] und $ [mm] \sigma^2=1$, [/mm] d.h. $ [mm] X_i\sim$ [/mm] N$ (0,1)$.
Ich wäre sehr dankbar über einen kleinen Hinweis.
Danke schonmal im Vorraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:06 Fr 17.09.2010 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Hallo ich habe eine Frage zu dem Beweisanfang von
> Unagbhänigkeit des Stichprobenmittels und der
> Stichprobenvarianz.
>
>
> Sei [mm](X_1,\ldots,X_n)[/mm] eine normalverteilte Zufallsstichprobe
> mit [mm]X_i\sim[/mm] N [mm](\mu,\sigma^2)[/mm]. Dann sind [mm]\overline X_n[/mm] und
> [mm]S_n^2[/mm] unabhängige Zufallsvariablen.
>
> Ich fang ja so an.
> Beweis
>
>
> * Zur Erinnerung: Mit der Schreibweise [mm]X_i^\prime = X_i-\mu[/mm]
> gilt
>
> [mm]\displaystyle \overline X_n=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i^\prime+\mu[/mm]
> und[mm]\displaystyle \qquad S_n^2=\frac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^n (X_i^\prime-\overline{X_n^\prime})^2\,.[/mm]
>
> Jetzt soll aus folgendem Satz der in etwa so geht folgen
> dass man oBdA annehmen kann dass dass [mm]\mu=0[/mm] und [mm]\sigma^2=1[/mm],
> d.h. [mm]X_i\sim[/mm] N[mm] (0,1)[/mm]
>
> Satz:Die Zufallsvektoren
> [mm]X_1:\Omega\to\mathbb{R}^{m_1},\ldots,X_n:\Omega\to\mathbb{R}^{m_n}[/mm]
> seien unabhängig. Für beliebige Borel-messbare Funktionen
> [mm]\varphi_1:\mathbb{R}^{m_1}\to\mathbb{R}^{m_1^\prime},\ldots,\varphi_n:\mathbb{R}^{m_n}\to\mathbb{R}^{m_n^\prime}[/mm]
> sind die Zufallsvektoren
> [mm]\varphi_1(X_1),\ldots,\varphi_n(X_n)[/mm] dann auch unabhängig.
>
> Jetzt versteh ich da den Zusammenhang irgendwie nicht.
> Warum kann man jetzt aus diesem Satz annehmen dass [mm]\mu=0[/mm]
> und [mm]\sigma^2=1[/mm], d.h. [mm]X_i\sim[/mm] N[mm] (0,1)[/mm].
>
Im folgenden betrachtet man nicht [mm] $X_i$, [/mm] sondern [mm] $\varphi_i(X_i)$, [/mm] dabei sind
[mm] $\varphi_i$ [/mm] so zu wählen, dass [mm] $\varphi_i(X_i) \sim$ [/mm] N[mm] (0,1)[/mm].
Umgekehrt müsste es auch gehen: Es gibt [mm] $\tilde \varphi_i$ [/mm] mit [mm] $X_i$ [/mm] = [mm] $\tilde \varphi_i(Z)$ [/mm] mit Z $ [mm] \sim$ [/mm] N$(0,1)$.
> Ich wäre sehr dankbar über einen kleinen Hinweis.
> Danke schonmal im Vorraus.
>
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Gruß meili
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