Zeige Divergenz durch Epsilon < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:41 Mi 09.05.2012 | | Autor: | elmanuel |
| Aufgabe | | Zeige die Divergenz der Folge [mm] an=(-1)^n [/mm] durch finden passender Versager-Epsilons aus der Definition der Divergenz. |
Hallo liebe Gemeinde!
also die Verneinung der Konvergenzaussage gibt bei mir:
[mm] \exists \varepsilon [/mm] <0 : [mm] \forall [/mm] N [mm] \in \IN [/mm] : [mm] \exists [/mm] n [mm] \ge [/mm] N : [mm] |a_n [/mm] -a| [mm] \ge \varepsilon
[/mm]
und das gilt [mm] \forall [/mm] a [mm] \in \IR
[/mm]
Ich hätte als [mm] Versager-\varepsilon [/mm] (1/2) gewählt da die Folge ständig aus der Epsilon Umgebung von (1/2) herausspringt egal wie groß n ist
aber wie beweise ich das jetzt mit der Definition ?
[mm] |a_n [/mm] - a| = [mm] \begin{cases} |1-a| \\ |(-1)-a| \end{cases}
[/mm]
im Fall a [mm] \ge [/mm] (1/2)
[mm] \Rightarrow [/mm] |(-1)-a| [mm] \ge [/mm] (1/2)
im Fall a< (1/2)
[mm] \Rightarrow [/mm] |1-a| [mm] \ge [/mm] (1/2)
somit gäbe es in jedem Fall ein passendes n für das [mm] |a_n [/mm] -a| [mm] \ge \varepsilon [/mm] sei n nur groß genug gewählt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:56 Mi 09.05.2012 | | Autor: | fred97 |
> Zeige die Divergenz der Folge [mm]an=(-1)^n[/mm] durch finden
> passender Versager-Epsilons aus der Definition der
> Divergenz.
> Hallo liebe Gemeinde!
>
> also die Verneinung der Konvergenzaussage gibt bei mir:
>
> [mm]\exists \varepsilon[/mm] <0 : [mm]\forall[/mm] N [mm]\in \IN[/mm] : [mm]\exists[/mm] n [mm]\ge[/mm]
> N : [mm]|a_n[/mm] -a| [mm]\ge \varepsilon[/mm]
>
> und das gilt [mm]\forall[/mm] a [mm]\in \IR[/mm]
So stimmt das nicht. Sondern:
[mm]\forall[/mm] a [mm]\in \IR[/mm] [mm]\exists \varepsilon[/mm] >0 : [mm]\forall[/mm] N [mm]\in \IN[/mm] : [mm]\exists[/mm] n [mm]\ge[/mm] N : [mm]|a_n[/mm] -a| [mm]\ge \varepsilon[/mm]
>
> Ich hätte als [mm]Versager-\varepsilon[/mm] (1/2) gewählt da die
> Folge ständig aus der Epsilon Umgebung von (1/2)
> herausspringt egal wie groß n ist
>
> aber wie beweise ich das jetzt mit der Definition ?
>
> [mm]|a_n[/mm] - a| = [mm]\begin{cases} |1-a| \\ |(-1)-a| \end{cases}[/mm]
>
> im Fall a [mm]\ge[/mm] (1/2)
> [mm]\Rightarrow[/mm] |(-1)-a| [mm]\ge[/mm] (1/2)
>
> im Fall a< (1/2)
> [mm]\Rightarrow[/mm] |1-a| [mm]\ge[/mm] (1/2)
>
> somit gäbe es in jedem Fall ein passendes n für das [mm]|a_n[/mm]
> -a| [mm]\ge \varepsilon[/mm] sei n nur groß genug gewählt
>
Sei a [mm] \in \IR.
[/mm]
Es ist [mm] |a_n-a|=|1-a| [/mm] falls n gerade und [mm] |a_n-a|=|1+a| [/mm] falls n ungerade.
Fall 1: Ist a=1, so ist [mm] |a_n-a|=2 [/mm] falls n ungerade. Als Versager kannst Du [mm] \varepsilon [/mm] = 1 wählen.
Fall 2: Ist a=-1, so ist [mm] |a_n-a|=2 [/mm] falls n gerade. Als Versager kannst Du [mm] \varepsilon [/mm] = 1 wählen.
Fall 3: a [mm] \ne \pm [/mm] 1. Zeige, dass [mm] \varepsilon:=\bruch{1}{2}*min \{|1-a|,|1+a|\} [/mm] das Gewünschte leistet.
FRED
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> So stimmt das nicht. Sondern:
>
> [mm]\forall[/mm] a [mm]\in \IR[/mm] [mm]\exists \varepsilon[/mm] >0 : [mm]\forall[/mm] N [mm]\in \IN[/mm]
> : [mm]\exists[/mm] n [mm]\ge[/mm] N : [mm]|a_n[/mm] -a| [mm]\ge \varepsilon[/mm]
stimmt war mein Tippfehler :)
> > Ich hätte als [mm]Versager-\varepsilon[/mm] (1/2) gewählt da die
> > Folge ständig aus der Epsilon Umgebung von (1/2)
> > herausspringt egal wie groß n ist
> >
> >
> > [mm]|a_n[/mm] - a| = [mm]\begin{cases} |1-a| \\ |(-1)-a| \end{cases}[/mm]
>
> >
> > im Fall a [mm]\ge[/mm] (1/2)
> > [mm]\Rightarrow[/mm] |(-1)-a| [mm]\ge[/mm] (1/2)
> >
> > im Fall a< (1/2)
> > [mm]\Rightarrow[/mm] |1-a| [mm]\ge[/mm] (1/2)
> >
> > somit gäbe es in jedem Fall ein passendes n für das [mm]|a_n[/mm]
> > -a| [mm]\ge \varepsilon[/mm] sei n nur groß genug gewählt
Ist das falsch ?
>
> Fall 3: a [mm]\ne \pm[/mm] 1. Zeige, dass
> [mm]\varepsilon:=\bruch{1}{2}*min \{|1-a|,|1+a|\}[/mm] das
> Gewünschte leistet.
hmm ... also sei a [mm]\ne \pm[/mm] 1
so ist min [mm] \{|1-a|,|1+a|\}=|1-a| [/mm] wenn a ([mm]\ne [/mm] 1) positiv oder die 0
oder min [mm] \{|1-a|,|1+a|\}=|1+a| [/mm] wenn a ([mm]\ne -[/mm] 1) negativ oder die 0
im ersten Fall wäre [mm] \varepsilon:=\bruch{1}{2}*|1-a| [/mm] < |1-a| ein passendes Versager Epsilon
und im zweiten wäre [mm] \varepsilon:=\bruch{1}{2}*|1-a| [/mm] < |1-a| ein passendes Versager Epsilon
Insgesamt also:
[mm] \varepsilon:=\bruch{1}{2}*min \{|1-a|,|1+a|\} [/mm] ein passendes Epsilon für a [mm]\ne \pm[/mm] 1
richtig?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Fr 11.05.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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