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Zahlkörper und Norm: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:28 Mi 06.01.2010
Autor: algieba

Aufgabe
Zeigen oder widerlegen sie:
Sei [mm]K/\IQ[/mm] ein Zahlkörper. Für gegebenes [mm]n \in \IZ[/mm] gibt es nur endlich viele Elemente mit Norm n.

Ich sitze schon ewig an dieser Aufgabe und komme auf keinen Ansatz. Ich vermute dass es nicht stimmt aber ich kann es leider nicht begründen.

Vielen Dank





        
Bezug
Zahlkörper und Norm: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:25 Mi 06.01.2010
Autor: felixf

Hallo!

> Zeigen oder widerlegen sie:
> Sei [mm]K/\IQ[/mm] ein Zahlkörper. Für gegebenes [mm]n \in \IZ[/mm] gibt es
> nur endlich viele Elemente mit Norm n.
>
>  Ich sitze schon ewig an dieser Aufgabe und komme auf
> keinen Ansatz. Ich vermute dass es nicht stimmt aber ich
> kann es leider nicht begründen.

Hast du es mal ausprobiert?

Wieviele Elemente gibt es z.B. in [mm] $\IQ(\sqrt{2})$ [/mm] der Norm 1?

LG Felix


Bezug
                
Bezug
Zahlkörper und Norm: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:49 Mi 06.01.2010
Autor: algieba

Ich habe jetzt mal einen Ansatz:
Sei [mm] x=a+b\wurzel{2}[/mm] dann ist die Multiplikationsmatrix

[mm] m_{x} = \pmat{ a & 2b \\ b & a } [/mm]

Die Norm von x ist dann [mm]det(m_{x}) = a^2-2b^2[/mm]
Diese Norm soll 1 sein also: [mm]1 = a^2-2b^2[/mm]
Diese Gleichung hat unendlich viele Lösungen für a und b, also gibt es unendlich viele Elemente mit Norm 1. Damit ist die Aussage widerlegt.
qed

Stimmt das?
Danke für deine Hilfe!

Bezug
                        
Bezug
Zahlkörper und Norm: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:57 Mi 06.01.2010
Autor: felixf

Hallo!

> Ich habe jetzt mal einen Ansatz:
>  Sei [mm]x=a+b\wurzel{2}[/mm] dann ist die Multiplikationsmatrix
>
> [mm]m_{x} = \pmat{ a & 2b \\ b & a }[/mm]
>  
> Die Norm von x ist dann [mm]det(m_{x}) = a^2-2b^2[/mm]

[ok]

>  Diese Norm
> soll 1 sein also: [mm]1 = a^2-2b^2[/mm]

Genau.

>  Diese Gleichung hat
> unendlich viele Lösungen für a und b, also gibt es
> unendlich viele Elemente mit Norm 1.

Das stimmt, aber ganz trivial ist es nicht. Warum gibt es unendlich viele Loesungen in [mm] $\IQ$? [/mm]

> Damit ist die Aussage
> widerlegt.

Ja.

LG Felix


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