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| Aufgabe | Wir betrachten [mm] K_{1} [/mm] = [mm] \IZ/5\IZ [/mm] und [mm] K_{2} [/mm] = [mm] \IZ/7\IZ
[/mm]
a) Invertieren Sie die Matrix A = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 2 } \in K_{i}^{3 \times 3}, [/mm] in obigen Zahlkörper.
b) Welche Schlussfolgerung ergibt sich für die Lösung eines linearen Gleichungssystem (jeweils in [mm] K_{1} [/mm] bzw. [mm] K_{2}) [/mm] mit A als Systemmatrix. |
Ich habe das Gefühl diese Aufgabe nicht verstanden zu haben und hätte gerne Hilfe beim Ansatz. Kann das sein, dass [mm] K_{1} [/mm] und [mm] K_{2} [/mm] Ringe sind? Sie sehen so ähnlich aus, wie die Restklassenringe, die ich mal in einer Aufgabe hatte.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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Hallo Jennifer,
> Wir betrachten [mm]K_{1}[/mm] = [mm]\IZ/5\IZ[/mm] und [mm]K_{2}[/mm] = [mm]\IZ/7\IZ[/mm]
>
> a) Invertieren Sie die Matrix A = [mm]\pmat{ 1 & 0 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 2 } \in K_{i}^{3 \times 3},[/mm]
> in obigen Zahlkörper.
> Ich habe das Gefühl diese Aufgabe nicht verstanden zu
> haben und hätte gerne Hilfe beim Ansatz. Kann das sein,
> dass [mm]K_{1}[/mm] und [mm]K_{2}[/mm] Ringe sind? Sie sehen so ähnlich aus,
> wie die Restklassenringe, die ich mal in einer Aufgabe
> hatte.  schön gesagt
Für Primzahlen $p$ ist [mm] $\IZ/p\IZ$ [/mm] sogar ein Körper
zu (a):
Bestimme die Inverse wie üblich, schreib die Einheitsmatrix dahinter und forme $A$ zur Einheitsmatrix um. Wende dieselben Umformungsschritte auf die nebenstehende Einheitsmatrix an.
Mache dir klar, dass die Einträge in der Matrix A Restklassen sind, sie müssten streng genommen alle mit nem Querstrich geschrieben werden (oder wie auch immer eure Notation für Restklassen ist)
Beachte dabei, dass in [mm] $\IZ/5\IZ$ [/mm] nur die Elemente [mm] $\overline{0},\overline{1},\overline{2},\overline{3},\overline{4}$ [/mm] sind
(in [mm] $\IZ/7\IZ$ [/mm] entsprechend [mm] $$\overline{0},\overline{1},....,$\overline{6}$)
[/mm]
Du musst also bei den Rechnungen immer modulo 5 (bzw mod 7) rechnen
bei (b) überlege dir, dass ein LGS in MAtrixschreibweise so aussieht: [mm] $A\cdot{}x=b$
[/mm]
[mm] x\in [/mm] ?, [mm] b\in [/mm] ?
Wie sieht das Ergebnis in (a) aus, wie kann man ne Lösung angeben, falls sie existiert?
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:45 Do 24.05.2007 | | Autor: | Syladriel |
Danke, ich versuche mal, ob ich jetzt weiterkomme
Lieben Gruß,
Syladriel
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Ich habe es versucht, bin aber irgendwie trotzdem nicht weiter gekommen. Ich schreib mal meinen Lösungsweg auf, vielleicht kann mir jemand sagen, was ich falsch mache oder wie es dann weitergeht.
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 3 & | & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 1 & | & 0 & 1 & 0 \\1 & 2 & 2 & | & 0 & 0 & 1} [/mm] |erste Zeile [mm] \cdot [/mm] 2 - zweite Zeile
[mm] \pmat{1 & 0 & 3 & | & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & | & 2 & -1 & 0 \\ 1 & 2 & 2 & | & 0 & 0 & 1} [/mm] | vertauschen der zweiten und dritten Zeile
[mm] \pmat{1 & 0 & 3 & | & 1 & 0 & 0 \\1 & 2 & 2 & | & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & | & 2 & -1 & 0} [/mm] |dritte Zeile : 5
[mm] \pmat{1 & 0 & 3 & | & 1 & 0 & 0 \\1 & 2 & 2 & | & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & | & \bruch {2}{5} & -\bruch{1}{5} & 0} [/mm] | erste Zeile - dritte Zeile [mm] \cdot [/mm] 3
[mm] \pmat{1 & 0 & 0 & | & -\bruch{1}{5} & \bruch{3}{5} & 0 \\1 & 2 & 2 & | & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & | & \bruch {2}{5} & -\bruch{1}{5} & 0} [/mm] | zweite Zeile - erste Zeile
[mm] \pmat{1 & 0 & 0 & | & -\bruch{1}{5} & \bruch{3}{5} & 0 \\0 & 2 & 2 & | & \bruch{1}{5} & -\bruch{3}{5} & 1 \\ 0 & 0 & 1 & | & \bruch {2}{5} & -\bruch{1}{5} & 0} [/mm] |zweite Zeile - 2 [mm] \cdot [/mm] dritte Zeile
[mm] \pmat{1 & 0 & 0 & | & -\bruch{1}{5} & \bruch{3}{5} & 0 \\0 & 2 & 0 & | & -\bruch{3}{5} & -\bruch{1}{5} & 1 \\ 0 & 0 & 1 & | & \bruch {2}{5} & -\bruch{1}{5} & 0} [/mm] |zweite Zeile : 2
[mm] \pmat{1 & 0 & 0 & | & -\bruch{1}{5} & \bruch{3}{5} & 0 \\0 & 1 & 0 & | & -\bruch{3}{10} & -\bruch{1}{10} & \bruch{1}{2} \\ 0 & 0 & 1 & | & \bruch {2}{5} & -\bruch{1}{5} & 0}
[/mm]
Die Elemente der invertierten Matrix liegen nicht in [mm] \IZ. [/mm] Deshalb bin ich mir sicher, dass das so nicht stimmt. Habe dann einen zweiten Ansatz gestartet, der dann noch seltsamere Ergebnisse produzierte:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 3 & | & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 1 & | & 0 & 1 & 0 \\1 & 2 & 2 & | & 0 & 0 & 1} [/mm] | erste Zeile [mm] \cdot [/mm] 2 mod 5
[mm] \pmat{ 2 & 0 & 1 & | & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 1 & | & 0 & 1 & 0 \\1 & 2 & 2 & | & 0 & 0 & 1} \Rightarrow [/mm] zweite - erste ergibt eine Nullreihe, wo die Einheitsmatrix entstehen sollte
Wäre froh, wenn mir jemand helfen könnte.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Internetforum gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:44 Mi 30.05.2007 | | Autor: | statler |
Hallo Jennifer, hier sind meine Vorschläge:
Klär erstmal, wie die 1. Zeile deiner Matrix heißt, du hast 2 Varianten im Angebot, wahrscheinlich ist (1 0 2) richtig.
Dann mach erstmal alle Schritte, die in beiden Körpern unverfänglich sind (also keine Divisionen!), um die linke Matrix auf Dreiecksgestalt zu bringen. In der Diagonalen müssen dabei noch nicht Einsen zu stehen kommen.
Und dann machen wir für jeden Körper getrennt weiter.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:25 Mi 30.05.2007 | | Autor: | Syladriel |
Habe mich vertippt, die Matrix ist:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 2 }
[/mm]
Tut mir leid.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:40 Mi 30.05.2007 | | Autor: | statler |
Hi!
> Habe mich vertippt, die Matrix ist:
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 2 }[/mm]
> Tut mir
> leid.
Schon OK. Dann siehst du in deiner Rechnung die Zeile (0 0 5). Das ist in Z/5Z gleich (0 0 0), also ist die Matrix da nicht invertierbar.
In Z/7Z ist das Inverse von 5 die 3, statt z. B. durch 5 zu teilen mußt du mit 3 multiplizieren. Dann untersuch das Ding mal in Z/7Z, viel Spaß.
Gruß
Dieter
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