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Hallo
Ich hänge gerade bei zwei Beweisen im folgenden Skript:
http://www.math.tugraz.at/~cheub/OeMO/zahlentheorie.pdf
1.Beweis: S.9 Satz 1.8: Hier verstehe ich den Beweis leider nicht. Dass der Satz gilt ist für mich logisch, aber der darunter angeführte Beweis ist für mich irgendwie unklar. So wird geschrieben, dass aus Satz 1.1(3) [mm] q\mid\prod\limits_{p\neq q}^{} p^{\beta_p} [/mm] folgt. Ich sehe jedoch nicht, was beide miteinander zu tun haben. Warum ist dies ein Widerspruch zu Satz 1.7? q ist doch eingentlich auch ein Faktor von b, da man ja die Existenz einer solchen Zahl annimmt oder?
2. Beweis: S.11 Punkt 4 (noch vor den Kongruenzen): Dies ist der Beweis zu Satz 1.11 (4.). Diesen Beweis müsste man mir auch noch einmal genauer erklären. Ich verstehe nicht ganz wie aus dem Beweis [mm] v_p(a) \neq v_p(b) [/mm] hervorgeht.
Ich bin für jede Antort dankbar, da ich all diese Dinge im Eigenstudium lerne und daher niemanden sonst habe, der mir helfen kann!
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Hallo Platoniker,
> Ich hänge gerade bei zwei Beweisen im folgenden Skript:
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> http://www.math.tugraz.at/~cheub/OeMO/zahlentheorie.pdf
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> 1.Beweis: S.9 Satz 1.8: Hier verstehe ich den Beweis leider
> nicht. Dass der Satz gilt ist für mich logisch, aber der
> darunter angeführte Beweis ist für mich irgendwie unklar.
> So wird geschrieben, dass aus Satz 1.1(3)
> [mm]q\mid\prod\limits_{p\neq q}^{} p^{\beta_p}[/mm] folgt. Ich sehe
> jedoch nicht, was beide miteinander zu tun haben. Warum ist
> dies ein Widerspruch zu Satz 1.7? q ist doch eingentlich
> auch ein Faktor von b, da man ja die Existenz einer solchen
> Zahl annimmt oder?
Ja, aber hier soll doch gezeigt werden, dass der Primfaktor q in a nicht häufiger vorkommen darf als in b, wenn a|b gilt. Im Skript gibt es allerdings einen Fehler: Hier wird die Annahme [mm] \blue{\alpha_q>\beta_q} [/mm] zum Widerspruch geführt, nicht wie angegeben die Annahme [mm] \alpha_q\ge\beta_q.
[/mm]
Unter dieser Annahme kannst Du nun aus a und b jeweils [mm] q^{\beta_q} [/mm] herauskürzen. Auf der Seite von a bleibt der Faktor [mm] q^{\alpha_q-\beta_q} [/mm] stehen, auf der Seite von b taucht der Faktor q überhaupt nicht mehr auf (daher [mm] p\not={q} [/mm] unter dem Produktzeichen).
Es genügt nun (nach Satz 1.1.3), nur den Faktor q (der in a noch erhalten ist) zu betrachten. Nach Satz 1.7 müsste er in einem der Faktoren von b enthalten sein, dort taucht er aber nicht auf. Also: Widerspruch.
> 2. Beweis: S.11 Punkt 4 (noch vor den Kongruenzen): Dies
> ist der Beweis zu Satz 1.11 (4.). Diesen Beweis müsste man
> mir auch noch einmal genauer erklären. Ich verstehe nicht
> ganz wie aus dem Beweis [mm]v_p(a) \neq v_p(b)[/mm] hervorgeht.
Das steht da doch auch gar nicht. Was meinst Du damit?
> Ich bin für jede Antort dankbar, da ich all diese Dinge im
> Eigenstudium lerne und daher niemanden sonst habe, der mir
> helfen kann!
Oh, das ist aber hartes Brot. Gut kauen!
Grüße, und viel Erfolg beim Selbststudium,
reverend
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Hallo
Danke für die hilfreiche Antwort. Beweis 1 habe ich nun verstanden. Bei Beweis 2 bräuchte ich auch noch einmal eine genauere Erklärung wie die gerade eben. Hier wird doch gezeigt, dass [mm] \alpha [/mm] nicht kleiner als [mm] \beta [/mm] sein kann. Doch wie folgt daraus die Aussage: [mm] v_p(a+b)=min(v_p(a),v_p(b)), [/mm] falls [mm] v_p(a) \neq v_p(b)?
[/mm]
Vielen Dank!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:25 Do 21.04.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
ich komme erst später am Abend dazu. Vielleicht hats ja dann schon jemand anders ausführlicher erklärt...
Nur ganz kurz:
> Hier wird
> doch gezeigt, dass [mm]\alpha[/mm] nicht kleiner als [mm]\beta[/mm] sein
> kann. Doch wie folgt daraus die Aussage:
> [mm]v_p(a+b)=min(v_p(a),v_p(b)),[/mm] falls [mm]v_p(a) \neq v_p(b)?[/mm]
Nein, erst wird oBdA angenommen, dass [mm] \alpha<\beta [/mm] ist.
Dann wird gezeigt, dass in diesem Fall [mm] v_p(a+b) [/mm] nicht größer als [mm] \alpha [/mm] sein kann, woraus (mit dem vorhergehenden Punkt 3) die genannte Gleichheit folgt.
Probiers mal aus mit folgenden zwei Beispielen:
a=3, b=24, p=3
a=9, b=15, p=3
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Fr 29.04.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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